Chủ đề này có 6 trả lời

[hoangtpf4]

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng $( ab^{2}+bc^{2} +ca^{2})(ab+bc+ca)\leq 9$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 07-02-2015 - 10:43

[dogsteven]

Đặt $(a,b,c)=(z,y,x)$ thì bất đẳng thức giờ là $(xy+yz+zx)(x^2y+y^2z+z^2x)\leqslant 9$

Giả sử $y$ nằm giữa $x, z$ thì $(x^2y+y^2z+z^2x)(xy+yz+zx)\leqslant y(xy+yz+zx)(x^2+zx+z^2)\leqslant \dfrac{9y(x+z)^2}{4}\leqslant \dfrac{9(2x+2y+2z)^3}{27.8}=9$

[hoangtpf4]

Sao xy+yz+zx lạo nhỏ hơn hoặc bằng 9/4 vậy bạn

[dogsteven]

Sao xy+yz+zx lạo nhỏ hơn hoặc bằng 9/4 vậy bạn

Đâu phải đâu. AM-GM cho $(x^2+zx+z^2)(xy+yz+zx)$

[JayVuTF]

Đặt $(a,b,c)=(z,y,x)$ thì bất đẳng thức giờ là $(xy+yz+zx)(x^2y+y^2z+z^2x)\leqslant 9$

Giả sử $y$ nằm giữa $x, z$ thì $(x^2y+y^2z+z^2x)(xy+yz+zx)\leqslant y(xy+yz+zx)(x^2+zx+z^2)\leqslant \dfrac{9y(x+z)^2}{4}\leqslant \dfrac{9(2x+2y+2z)^3}{27.8}=9$

LÀm theo Tam thức bậc 2 thì sao em nhỉ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JayVuTF: 08-02-2015 - 17:08

[dogsteven]

LÀm theo Tam thức bậc 2 thì sao em nhỉ 

Chị chơi xấu quá

Giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$ thì ta có $(ab^2+bc^2+ca^2)(ab+bc+ca)\leqslant b(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca)$

Đặt $x=ac$ và thay $a+c=3-b$ thì ta cần chứng minh:

$bx^2-(2b^3-9b^2+9b)x+b^5-9b^4+27b^3-27b^2+9\geqslant 0$

Đến đây chắc chị làm được.

[hoangtpf4]

Sao b nằm giữa a và c thì abb+bcc+caa lại nhỏ hơn hoặc bằng b(aa+ac+cc) vậy bạn. Hề mình chậm hiểu lắm mong bạn thông cảm