Chủ đề này có 2 trả lời

[Dog Fan]

Chứng minh rằng với mọi $a,b\in R$ luôn có:

$\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}.\frac{a^3+b^3}{2}\leq \frac{a^6+b^6}{2}$

[Ngoc Hung]

Chứng minh rằng với mọi $a,b\in R$ luôn có:

$\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}.\frac{a^3+b^3}{2}\leq \frac{a^6+b^6}{2}$

BĐT tương đương $(a+b)(a^{2}+b^{2})(a^{3}+b^{3})\leq 4(a^{6}+b^{6})\Leftrightarrow (a+b)(a^{2}+b^{2})(a^{3}+b^{3})\leq 4(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4})\Leftrightarrow (a+b)(a^{3}+b^{3})\leq 4(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4})\Leftrightarrow 3a^{4}+3b^{4}-4a^{2}b^{2}-ab^{3}-a^{3}b\geq 0\Leftrightarrow 2\left ( a^{2}-b^{2} \right )^{2}+(a-b)^{2}\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )\geq 0$. Đúng với mọi a, b

[KietLW9]

Chứng minh rằng với mọi $a,b\in R$ luôn có:

$\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}.\frac{a^3+b^3}{2}\leq \frac{a^6+b^6}{2}$

$VT-VP=2(a-b)^2(a^2+b^2)(3a^2+5ab+3b^2)\geqslant 0$