Chủ đề này có 1 trả lời

[onepiecekizaru]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )^{2}+\frac{14abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 11-02-2015 - 03:24

[binhnhaukhong]

Ta đặt $x=\frac{a}{b+c},y=\frac{b}{a+c},z=\frac{c}{a+b}(x,y,z>0)$ thì có đẳng thức sau:

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=2\Leftrightarrow xy+yz+xz+2xyz=1$

Và cần chứng minh rằng:

$(x+y+z)^2+14xyz\geq 4$

Áp dụng BĐT Schur ta có:

$(x+y+z)^2+\frac{9xyz}{(x+y+z)}\geq 4(xy+yz+xz)=4-8xyz$

Vì vậy ta sẽ đi chứng minh:

$(x+y+z)^2+14xyz \geg (x+y+z)^2+\frac{9xyz}{x+y+z}+8xyz$

BĐT này tương đương:

$x+y+z \geg \frac{3}{2}$

Từ giả thiết ta dễ dàng có được điều này!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 12-02-2015 - 21:02