Chủ đề này có 3 trả lời

[the man]

1.Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{a^{2}+b+1}\leq 1$

 

2.Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\sum \frac{b^{2}c^{3}}{a^{2}+(b+c)^{3}}\geq \frac{9abc}{4(3abc+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 13-02-2015 - 15:24

[JayVuTF]

1.Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{a^{2}+b+1}\leq 1$

BÀi này không có điều kiện gì à

Theo mình bài này phải có thêm $a+b+c=3$ 

[dogsteven]

Bài 1.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $\sum \dfrac{a}{a^2+1+b}\leqslant \sum \dfrac{a}{2a+b}$

Do đó ta cần chứng minh: $\sum \dfrac{2a}{2a+b}\leqslant 2 \Leftrightarrow \sum \dfrac{a}{a+2c}\geqslant 1$

Bất đẳng thức này luôn đúng theo Cauchy-Schwarz: $\sum \dfrac{a}{a+2c}=\sum \dfrac{a^2}{a^2+2ca} \geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 13-02-2015 - 17:45

[dogsteven]

Bài 2. Cho $x=y=z\in (0,1)$ thì BDT sai