Chủ đề này có 3 trả lời

[Tran Nhan Trung]

Cho x, y, z thực dương thỏa mãn x+y+z+1=4xyz. CMR

$xy+yz+zx\geq x+y+z$

[dogsteven]

Đặt $x=\dfrac{1}{a}, y=\dfrac{1}{b}$ và $z=\dfrac{1}{c}$ thì ta có $ab+bc+ca+abc=4$ hay có thể đặt $a=\dfrac{2a}{b+c}, b=\dfrac{2b}{c+a}, c=\dfrac{2c}{a+b}$

Bất đẳng thức trở thành: $a(a+b)(a+c)+b(b+c)(b+a)+c(c+a)(c+b)\geqslant 2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \\ \Leftrightarrow (a+b-c)(a-b)^2+c(b-c)(a-c)\geqslant 0$

Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ thì bất đẳng thức đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 13-02-2015 - 19:29

[Tran Nhan Trung]

Đặt $x=\dfrac{1}{a}, y=\dfrac{1}{b}$ và $z=\dfrac{1}{c}$ thì ta có $ab+bc+ca+abc=4$ hay có thể đặt $a=\dfrac{2a}{b+c}, b=\dfrac{2b}{c+a}, c=\dfrac{2c}{a+b}$

Bất đẳng thức trở thành: $a(a+b)(a+c)+b(b+c)(b+a)+c(c+a)(c+b)\geqslant 2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \\ \Leftrightarrow (a+b-c)(a-b)^2+c(b-c)(a-c)\geqslant 0$

Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ thì bất đẳng thức đúng.

 

 

sao bạn có thể nghĩ ra cách đổi biến thỏa mãn điều kiện bài toán hay như vậy?

[dogsteven]

sao bạn có thể nghĩ ra cách đổi biến thỏa mãn điều kiện bài toán hay như vậy?

Chú ý đẳng thức sau: $xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2xyz=(x+y)(y+z)(z+x)$. Khi đó $\dfrac{2xy(x+y)+2yz(y+z)+2zx(z+x)+8xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}=4$

Từ đó ta có phép đặt trên.