Chủ đề này có 1 trả lời

[hoctrocuaZel]

Cho a, b ,c >0 C/m:

$\sum \frac{ab^2c}{(a^2+b^2)(c^2+ab)}\leq \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 16-02-2015 - 11:04

[Hoang Tung 126]

Cho a, b ,c >0 C/m:

$\sum \frac{ab^2c}{(a^2+b^2)(c^2+ab)}\leq \frac{3}{4}$

Theo Cosi ta có : 

 

 $\sum \frac{ab^2c}{(a^2+b^2)(c^2+ab)}\leq \sum \frac{ab^2c}{(a^2+b^2).2c\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}\sum \frac{ab^2}{(a^2+b^2)\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}\sum \frac{\sqrt{ab^3}}{a^2+b^2}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{\sqrt{ab^3}}{\sqrt{2ab(a^2+b^2)}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sum \sqrt{\frac{b^2}{a^2+b^2}}$

    (1)

( Do áp dụng bđt $m^2+n^2\geq \sqrt{2mn(m^2+n^2)}$)

 

  Đặt $a^2=x,b^2=y,c^2=z= > \sum \sqrt{\frac{b^2}{a^2+b^2}}=\sum \sqrt{\frac{y}{x+y}}=\sum \sqrt{y(x+z)}.\sqrt{\frac{1}{(x+y)(x+z)}}\leq \sqrt{\sum y(x+z).\sum \frac{1}{(x+y)(x+z)}}=\sqrt{2\sum xy.\frac{2\sum x}{(x+y)(y+z)(x+z)}}=\sqrt{\frac{4\sum xy.\sum x}{(x+y)(y+z)(x+z)}}\leq \sqrt{\frac{4.9}{8}}=\sqrt{\frac{36}{8}}= > \frac{1}{2\sqrt{2}}.\sum \sqrt{\frac{b^2}{a^2+b^2}}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}.\sqrt{\frac{36}{8}}=\frac{3}{4}$               (2)

 

(Do áp dụng bđt Bunhiaxopki và bđt $(m+n)(n+p)(p+m)\geq \frac{8}{9}(m+n+p)(mn+mp+np)$) 

 

 Từ (1),(2) ta có đpcm ,Dấu =xảy ra khi $a=b=c$