Chủ đề này có 2 trả lời

[the man]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $\sum \frac{ab}{c(c+a)}\geq \sum \frac{a}{c+a}$

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $\sum \frac{ab}{c(c+a)}\geq \sum \frac{a}{c+a}$

  Trước hết ta chứng minh $\sum \frac{ab+c^2}{ac+c^2}\geq 3$

 

Theo BĐT Cosi cho 3 số ta có 

 

 $\sum \frac{ab+c^2}{ac+c^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+c^2)(bc+a^2)(ac+b^2)}{(ac+c^2)(ab+a^2)(bc+b^2)}}\geq 3< = > (ab+c^2)(bc+a^2)(ac+b^2)\geq (ac+c^2)(ab+a^2)(bc+b^2)< = > 2a^2b^2c^2+abc\sum a^3+\sum a^3b^3\geq 2a^2b^2c^2+abc\sum ab(a+b)< = >abc \sum a^3+\sum a^3b^3\geq abc\sum ab(a+b)$

 

Theo COsi có $\sum a^3b^3\geq 3a^2b^2c^2= > abc\sum a^3+\sum a^3b^3\geq abc\sum a^3+3\sum a^2b^2c^2=abc(\sum a^3+3abc)$

 

Do đó cần CM $abc(\sum a^3+3abc)\geq abc\sum ab(a+b)< = > \sum a^3+3abc\geq \sum ab(a+b)$ .Đúng do đây là BĐT Schur bậc 3 . 

 

 Từ đó $= > \sum \frac{ab+c^2}{ac+c^2}\geq 3$   

 

   $= > \sum (\frac{ab+c^2}{ac+c^2}-1)\geq 0= > \sum \frac{a(b-c)}{c(a+c)}\geq 0 = > \sum \frac{ab}{c(a+c)}\geq \sum \frac{a}{a+c}$

 

Do đó ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $a=b=c> 0$

 

[KietLW9]

Một cách xử lại khác gọn hơn cho bất đẳng thức: $(ab+c^2)(bc+a^2)(ac+b^2)\geqslant abc(a+b)(b+c)(c+a)$

Ta có: $(ab+c^2)(bc+a^2)=(ab^2c+a^2c^2)+b(a^3+c^3)\geqslant ac(b^2+ac)+\frac{b(a+c)^3}{4}\geqslant 2\sqrt{\frac{abc(b^2+ac)(a+c)^3}{4}}=\sqrt{abc(b^2+ac)(a+c)}$

Tương tự rồi nhân lại với nhau ta có điều phải chứng minh