3 replies to this topic

[tretho97]

$x;y$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}$.tìm giá trị nhỏ nhất 

$P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$

Edited by tretho97, 20-02-2015 - 17:14.

[nguyenhongsonk612]

$x;y$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}$.tìm giá trị nhỏ nhất 

$P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{1}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{\begin{pmatrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \end{pmatrix}^2}{2}\Leftrightarrow 1\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\Leftrightarrow x+y\geq 4$

Đặt $x+y=t (t\geq 4)$

$P=\frac{x^2+y^2+1+x+y-1}{(x+1)(y+1)}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{x^2+y^2+1}{6(x+1)(y+1)}+\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+1}}+\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+1}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{24(x+1)(y+1)}}$

$=\frac{3}{\sqrt[3]{24\begin{pmatrix} \frac{t^2}{4}+t+1 \end{pmatrix}}}=\frac{3}{\sqrt[3]{6(t+2)^2}}$

$\frac{5(x^2+y^2+1)}{6(x+1)(y+1)}=\frac{5[(x+y)^2-2xy+1]}{xy+x+y+1}\geq \frac{5\begin{pmatrix} t^2-\frac{t^2}{2}+1 \end{pmatrix}}{6\begin{pmatrix} \frac{t^2}{4}+t+1 \end{pmatrix}}=\frac{5(t^2+2)}{3(t+2)^2}$

$\frac{x+y-1}{(x+1)(y+1)}\geq \frac{t-1}{\frac{t^2}{4}+t+1}=\frac{4(t-1)}{t^2+4t+4}$

Cộng theo vế $3$ BĐT trên ta được

$P\geq \frac{3}{\sqrt[3]{6(t+2)^2}}+\frac{5t^2+12t-2}{3(t+2)^2}$

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi $t=4$ ta sẽ C/m $P\geq \frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow 30t^2+72t-12+9(t+2)\sqrt[3]{36(t+2)}\geq 30(t+2)^2$

Đặt $\sqrt[3]{36(t+2)}=u(u\geq 6)$

BĐT $\Leftrightarrow 54u^4-288u^3-7776\geq 0\Leftrightarrow (u-6)(54u^3+36u^2+216u+1296)\geq 0$

(đúng do $u \geq 6$)

Vậy $P$ min $=\frac{5}{3}$. Dấu "=" xảy ra khi $u=6\Leftrightarrow t=4\Leftrightarrow x=y=2$

Edited by nguyenhongsonk612, 19-03-2015 - 23:56.

[tretho97]

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{1}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{\begin{pmatrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \end{pmatrix}^2}{2}\Leftrightarrow 1\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\Leftrightarrow x+y\geq 4$

Đặt $x+y=t (t\geq 4)$

$P=\frac{x^2+y^2+1+x+y-1}{(x+1)(y+1)}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{x^2+y^2+1}{6(x+1)(y+1)}+\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{24(x+1)(y+1)}}$

$=\frac{3}{\sqrt[3]{24\begin{pmatrix} \frac{t^2}{4}+t+1 \end{pmatrix}}}=\frac{3}{\sqrt[3]{6(t+2)^2}}$

$\frac{5(x^2+y^2+1)}{(x+1)(y+1)}=\frac{5[(x+y)^2-2xy+1]}{xy+x+y+1}\geq \frac{5\begin{pmatrix} t^2-\frac{t^2}{2}+1 \end{pmatrix}}{6\begin{pmatrix} \frac{t^2}{4}+t+1 \end{pmatrix}}=\frac{5(t^2+2)}{3(t+2)^2}$

$\frac{x+y-1}{(x+1)(y+1)}\geq \frac{t-1}{\frac{t^2}{4}+t+1}=\frac{4(t-1)}{t^2+4t+4}$

Cộng theo vế $3$ BĐT trên ta được

$P\geq \frac{3}{\sqrt[3]{6(t+2)^2}}+\frac{5t^2+12t-2}{3(t+2)^2}$

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi $t=4$ ta sẽ C/m $P\geq \frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow 30t^2+72t-12+9(t+2)\sqrt[3]{36(t+2)}\geq 30(t+2)^2$

Đặt $\sqrt[3]{36(t+2)}=u(u\geq 6)$

BĐT $\Leftrightarrow 54u^4-288u^3-7776\geq 0\Leftrightarrow (u-6)(54u^3+36u^2+216u+1296)\geq 0$

(đúng do $u \geq 6$)

Vậy $P$ min $=\frac{5}{3}$. Dấu "=" xảy ra khi $u=6\Leftrightarrow t=4\Leftrightarrow x=y=2$

cộng  theo vế 3 BĐT thì làm sao ra P được nhỉ?

Cách 2:

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2\leq 2(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})=1\Rightarrow xy\geq x+y\Rightarrow x^2+y^2+1\leq (x+y-1)^2\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}\geq\frac{1}{x+y-1}$

$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\geq\frac{(x+y)^2}{2xy+x+y}\geq\frac{(x+y)^2}{\frac{(x+y)^2}{2}+x+y}$

Đến đây cộng theo vế;đặt $t=x+y\geq4$ và chứng minh $P\geq \frac{5}{3}$

Edited by tretho97, 19-03-2015 - 22:19.

[nguyenhongsonk612]

cộng  theo vế 3 BĐT thì làm sao ra P được nhỉ?

Cách 2:

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2\leq 2(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})=1\Rightarrow xy\geq x+y\Rightarrow x^2+y^2+1\leq (x+y-1)^2\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}\geq\frac{1}{x+y-1}$

$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\geq\frac{(x+y)^2}{2xy+x+y}\geq\frac{(x+y)^2}{\frac{(x+y)^2}{2}+x+y}$

Đến đây cộng theo vế;đặt $t=x+y\geq4$ và chứng minh $P\geq \frac{5}{3}$

Tớ đã sửa lại, cảm ơn bạn nhé!!!