Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangtpf4]

Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ và a + b + c = 3. Tìm GTNN của $P=\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 21-02-2015 - 23:01

[Ngoc Hung]

Đã có ở ĐÂY rồi nhé

[Hue Ham]

Hoàng ơi....... Câu đấy tớ hỏi Hoàng đấy :v

[viet nam in my heart]

Bài này khá hay. Ai có cách ngắn hơn thì post nhé.

Đặt $f(a,b,c)=\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}$

Giả sử c= max{a,b,c} thì $1\leq c\leq 2$

Xét 2 số a+c và b+c ta có:$1\leq b+c,a+c\leq 3$

TH1: Nếu tồn tại 1 trong 2 số này thuộc đoạn [1,2].

Giả sử $1\leq b+c\leq 2$

Ta đi chứng minh $f(a,b,c)\geq f(0,b+c,a)$

Thật vậy: $f(a,b,c)\geq f(0,b+c,a)$

$\Leftrightarrow \sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\geq1+\sqrt{b+c+1}$

$\Leftrightarrow b+c+2+2\sqrt{(b+1)(c+1)}\geq b+c+2+2\sqrt{b+c+1}$(đúng vì $(b+1)(c+1)\geq b+c+1$)

Đặt t = b+c $\Rightarrow t+a=3\Leftrightarrow a=3-t$

Ta có: $f(a,b,c)\geq f(0,b+c,a)=1+\sqrt{b+c+1}+\sqrt{a+1}=1+\sqrt{t+1}+\sqrt{4-t}\geq 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$(vì $1\leq t\leq2$)

TH2: Cả a+c và b+c đều lớn hơn 2.

Vì a+b+c=3 nên 2(a+b+c)=6 nên $a+b<2$

*Nếu $a+b\geq 1$ thì làm tương tự trường hợp 1

*Nếu a+b<1 thì vì a+b+c =3 nên c>2(vô lý vì theo đề bài $0\leq a,b,c\leq 2$)

Vậy Min P = $1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ khi và chỉ khi 3 số đó là 0,1,2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 22-02-2015 - 02:08