Chủ đề này có 2 trả lời

[Phuonganh2205]

Cho a,b,c>0.CMR:

$\left ( \frac{a}{b+c} \right )^{3}+\left ( \frac{b}{c+a} \right )^{3}+\left ( \frac{c}{a+b} \right )^{3}\geq \frac{3}{8}$.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 23-02-2015 - 00:20

[viet nam in my heart]

Chuẩn hóa a+b+c=3 ta có:$\left ( \frac{a}{b+c} \right )^3=\left ( \frac{a}{3-a} \right )^3$

Ta có: $\left ( \frac{a}{3-a} \right )^3-\frac{1}{8}-\frac{9}{16}\left ( a-1 \right )=\frac{{9{{\left( {a - 1} \right)}^2}\left[ {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + 12} \right]}}{{3 - a}}\geq 0$ với a<3.

Suy ra $\left ( \frac{a}{b+c} \right )^3\geq \frac{9}{16}(a-1)+\frac{1}{8}$

Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế ta có :

$\left ( \frac{a}{b+c} \right )^3+\left ( \frac{b}{c+a} \right )^3+\left ( \frac{c}{a+b} \right )^3\geq \frac{9}{16}\left ( a+b+c-3 \right )+\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$(vì a+b+c=3)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

[vda2000]

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ với $3$ số dương, ta có:

$(\frac{a}{b+c})^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq 3.\sqrt[3]{(\frac{a}{b+c})^3.\frac{1}{8}.\frac{1}{8}}=\frac{3}{4}.\frac{a}{b+c}$

Thiết lập các BĐT tương tự cộng lại, ta có:

$\sum(\frac{a}{b+c})^3\geq\frac{3}{4}\sum\frac{a}{b+c}-\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}.\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$.

(Áp dụng bất đẳng thức $Nesbitt$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 23-02-2015 - 08:00