13 replies to this topic

[HatNangNgoaiThem]

Bài 1: 1.1: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: x+y=$\frac{5}{4}$. tìm Min: A=$\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}$

1.2: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$

Bài 2: Cho 3 số a, b, c dương thỏa mãn: ab+bc+ca=3. Chứng minh BĐT: $\frac{a}{2a^{2}+bc}+\frac{b}{2b^{2}+ca}+\frac{c}{2c^{2}+ab}\geq abc$

Bài 3: 

3.1: Cho ba số thực a, b, c. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{26}+\frac{\left ( b-c \right )^{2}}{6}+\frac{\left ( c-a \right )^{2}}{2009}$

3.2: Cho a>o; b<0; a+b$\geq$0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a}\geq \frac{2}{b}+\frac{8}{2a-b}$

3.3: Cho a, b thỏa mãn: $\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}= 1$. CMR: $ab^{2}\leq \frac{1}{8}$

Bài 4: CHo a, b, c>0; abc=1. CMR: $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

Bài 5:  CHo a, b, c>0; a+b+c=3. CMR: $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

Bài 6: Cho a, b,c>0. CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 2\left ( \frac{b+c}{2}-a \right )^{3}$

Bài 7: CHo a,b,c là các số thực dương. CMR: $\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}+\sqrt[3]{b^{3}+c^{3}}+\sqrt[3]{c^{3}+a^{3}}\geq \frac{^{\sqrt{2}}}{2}\left ( \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}} \right )$

Bài 8: Cho các số dương a, b, c. CMR: $\sqrt[3]{4\left ( a^{3}+b^{3} \right )}+\sqrt[3]{4\left ( b^{3}+c^{3} \right )}+\sqrt[3]{4\left ( c^{3}+a^{3} \right )}\leq \frac{4a^{2}}{a+b}+\frac{4b^{2}}{b+c}+\frac{4c^{2}}{c+a}$

Mong mọi người giúp đỡ         

Edited by hachinh2013, 23-02-2015 - 15:25.

[Ngoc Hung]

Bài 1: 1.1: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: x+y=$\frac{5}{4}$. tìm Min: A=$\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}$

Ta có $A=\frac{4^{2}}{4x}+\frac{1^{2}}{4y}\geq \frac{(4+1)^{2}}{4(x+y)}=5$

[Ngoc Hung]

Bài 1: 1.1: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: x+y=$\frac{5}{4}$. tìm Min: A=$\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}$

1.2: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$

$P=\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\Rightarrow 3-2P=\frac{a^{2}}{a^{2}+2}+\frac{b^{2}}{b^{2}+2}+\frac{c^{2}}{c^{2}+2}$

Áp dụng Bunhia ta có $(a^{2}+b^{2}+c^{2}+6)\left ( \frac{a^{2}}{a^{2}+2}+\frac{b^{2}}{b^{2}+2}+\frac{c^{2}}{c^{2}+2} \right )\geq (a+b+c)^{2}$

Thay $6=2(ab+bc+ca)\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+6=(a+b+c)^{2}\Rightarrow 3-2P\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=1\Rightarrow P\leq 1$

[vda2000]

 

Bài 4: Cho a, b, c>0; abc=1. CMR: $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

 

Xin có đóng góp nho nhỏ

Vì $abc=1$ nên đặt $a=\frac{x}{y}$; $b=\frac{y}{z}$; $c=\frac{z}{x}$ với ($x,y,z>0$)

Ta có:

$\sum\frac{a}{ab+1}=\sum\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}+1}=\sum\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{z}+1}=\sum\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x+z}{z}}=\sum\frac{xz}{xy+yz}\geq\frac{3}{2}$ (Bất đẳng thức $Nesbitt$)

Edited by vda2000, 23-02-2015 - 15:53.

[Chung Anh]

 

Bài 2: Cho 3 số a, b, c dương thỏa mãn: ab+bc+ca=3. Chứng minh BĐT: $\frac{a}{2a^{2}+bc}+\frac{b}{2b^{2}+ca}+\frac{c}{2c^{2}+ab}\geq abc$

 

Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{abc} $

Đặt $(a;b;c)\rightarrow \left ( \frac{1}{x} ;\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right )\Rightarrow x+y+z=3xyz $

Khi đó $BĐT\Leftrightarrow \frac{xyz}{2yz+x^2}+\frac{xyz}{2xz+y^2}+\frac{xyz}{2xy+z^2}\geq \frac{1}{xyz} $

Ta có $\frac{xyz}{2yz+x^2}+\frac{xyz}{2xz+y^2}+\frac{xyz}{2xy+z^2}$

          $=xyz\left ( \sum \frac{1}{2yz+x^2} \right )$

          $\geq xyz\left ( \frac{9}{2(xy+yz+xz)+(x^2+y^2+z^2) }\right )$

          $=xyz.\frac{9}{(x+y+z)^2}=\frac{9xyz}{(3xyz)^2}=\frac{1}{xyz} $(đpcm)

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1 $

Edited by Chung Anh, 23-02-2015 - 22:31.

[Dinh Xuan Hung]

 

3.1: Cho ba số thực a, b, c. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{26}+\frac{\left ( b-c \right )^{2}}{6}+\frac{\left ( c-a \right )^{2}}{2009}$

 

$\sum a^2\geq \sum ab+\frac{(a-b)^2}{26}+\frac{(b-c)^2}{6}+\frac{(c-a)^2}{2009}\Leftrightarrow \sum a^2-\sum ab-\frac{(a-b)^2}{26}+\frac{(b-c)^2}{6}+\frac{(c-a)^2}{2009}\geq 0\Leftrightarrow 2\sum a^2-2\sum ab-\frac{(a-b)^2}{13}+\frac{(b-c)^2}{3}+\frac{2(c-a)^2}{2009}\geq 0\Leftrightarrow \frac{12(a-b)^2}{13}+\frac{2(b-c)^2}{3}+\frac{2007(c-a)^2}{2009}\geq 0$

LUÔN ĐÚNG

[Dinh Xuan Hung]

 

3.2: Cho a>o; b<0; a+b$\geq$0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a}\geq \frac{2}{b}+\frac{8}{2a-b}$

 

$\frac{1}{a}\geq \frac{2}{b}+\frac{8}{2a-b}\Leftrightarrow \frac{1}{a}-\frac{2}{b}-\frac{8}{2a-b}\geq 0\Leftrightarrow \frac{-(b-2a)^2-8}{ab(2a-b)}\geq 0$

LUÔN ĐÚNG VÌ a>0;b<0

[Dinh Xuan Hung]

 

3.3: Cho a, b thỏa mãn: $\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}= 1$. CMR: $ab^{2}\leq \frac{1}{8}$

 

$\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}=1\Leftrightarrow \frac{2b}{1+b}=\frac{1}{1+a}\Leftrightarrow a=\frac{1-b}{2b}$

Do đó: $ab^2=\frac{1-b}{2b}.b^2=\frac{(1-b).b}{2}=\frac{1}{2}\left [ -(b-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4} \right ]\leq \frac{1}{8}$

[hoanglong2k]

 

 

Bài 3: 

3.2: Cho a>o; b<0; a+b$\geq$0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a}\geq \frac{2}{b}+\frac{8}{2a-b}$

Bài 5:  CHo a, b, c>0; a+b+c=3. CMR: $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

 

3.2. Ta có: $\Leftrightarrow \frac{2}{2a}+\frac{2}{-b}\geq \frac{8}{2a-b}$ nên có đpcm

5. Áp dụng bđt AM-GM và Chebyshev: 

   $\sum \frac{a}{ab+1}=\sum (a-\frac{a^2b}{ab+1})\geq \sum (a-\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}})=\sum (a-\frac{a.\sqrt{ab}}{2})\geq \sum a(1-\frac{a+b}{4})\geq \frac{1}{3}(a+b+c)(3-\frac{a+b+c}{2})=\frac{3}{2}$

[Dinh Xuan Hung]

 

Bài 6: Cho a, b,c>0. CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 2\left ( \frac{b+c}{2}-a \right )^{3}$

 

TH1:$b+c\leq 2a$.KHI ĐÓ:$\left\{\begin{matrix} 2(\frac{b+c}{2}-a)^3\leq 0 & & \\ a^3+b^3+c^3-3abc\geq 0& & \end{matrix}\right.$

Nên ta có ĐPCM

TH2:$b+c> 2a$

Đặt $\left\{\begin{matrix} b=a+x(x>0) & & \\ c=a+y(y>0) & & \end{matrix}\right.$

$a^3+b^3+c^3-3abc-2(\frac{b+c}{2}-a)^3\geq 0\Leftrightarrow 3a(x^2-xy+y^2)+\frac{3(x+y)(x-y)^2}{2}\geq 0$

$\Rightarrow Q.E.D$

[HatNangNgoaiThem]

 

 

3.2. Ta có: $\Leftrightarrow \frac{2}{2a}+\frac{2}{-b}\geq \frac{8}{2a-b}$ nên có đpcm

5. Áp dụng bđt AM-GM và Chebyshev: 

   $\sum \frac{a}{ab+1}=\sum (a-\frac{a^2b}{ab+1})\geq \sum (a-\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}})=\sum (a-\frac{a.\sqrt{ab}}{2})\geq \sum a(1-\frac{a+b}{4})\geq \frac{1}{3}(a+b+c)(3-\frac{a+b+c}{2})=\frac{3}{2}$

 

bài 5 còn có cách giải khác không

[nguyenhongsonk612]

Bài 3.3

Một cách khác

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{1}{1+b}=1-\frac{b}{1+b}=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(1+a)(1+b)}}$

$\frac{1}{1+b}=1-\frac{b}{1+b}=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(1+a)(1+b)}}$

$\frac{1}{1+a}=1-\frac{a}{1+a}=\frac{2b}{1+b}$

Nhân theo vế $3$ "BĐT" trên ta được 

$\frac{1}{(1+a)(1+b)^2}\geq \frac{8ab^2}{(1+a)(1+b)^2}\Leftrightarrow ab^2\leq \frac{1}{8}$

Dấu "=" ...

Edited by nguyenhongsonk612, 23-02-2015 - 22:36.

[hoanglong2k]

Có đấy cậu. Cách này có vẻ cơ sở hơn

Lời giải

Do $abc=1$ nên ta đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$

Khi đó $VT=\sum \frac{xz}{xy+yz}=\sum \frac{x^2z^2}{x^2yz+xyz^2}\geq \frac{(\sum xy)^2}{2xyz(x+y+z)}\geq \frac{3xyz(x+y+z)}{2xyz(x+y+z)}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Đây cũng là BĐT nesbit cậu ạ

Bài của bạn là bài 4 mà, bạn nên đọc lại đề bài, là a+b+c=3 chứ ko phải abc=1 như bài 4 đâu

[daotuanminh]

1.$\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}\geq 2\frac{1}{\sqrt{xy}}\geq \frac{2}{\sqrt{\frac{(x+y)^{2}}{4}}}\geq \frac{1}{5}$