Cho 2 số không âm a và b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=a+b$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 25-02-2015 - 14:38
Cho 2 số không âm a và b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=a+b$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 25-02-2015 - 14:38
Cho mình hỏi đây phải đề thi tỉnh Bắc Giang lớp 8 năm 2012-2013 nhỉ?
Ta có:
$S=\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}-\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1}$
$\rightarrow S=2-(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})\leq 2-\frac{4}{a+b+2}$ $(1)$
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$, ta có:
$2(a^2+b^2)\geq(a+b)^2$
$\rightarrow 2(a+b)\geq (a+b)^2$
$\rightarrow a+b\leq 2$
$\rightarrow\frac{4}{a+b+2}\geq\frac{4}{2+2}=1$ $(2)$
Từ $(1),(2)$ $\rightarrow\ S\leq 2-1=1$
Dấu $"='$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=1$
Vậy $max S=1$ $\leftrightarrow a=b=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 25-02-2015 - 17:24
$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$
If you see this, you will visit my facebook.....!
Cho 2 số không âm a và b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=a+b$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$
$S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\leq \frac{a}{2\sqrt{a}}+\frac{b}{2\sqrt{b}}=\frac{1}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\leq \frac{1}{2}\sqrt{2(a+b)}$
Lại có :$2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\Leftrightarrow 2(a+b)\geq (a+b)^2\Leftrightarrow a+b\leq 2\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{2(a+b)}\leq \frac{1}{2}.2=1$
$\Rightarrow S\leq 1$
DBXR khi a=b=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 25-02-2015 - 17:18
Cho mình hỏi đây phải đề thi tỉnh Bắc Giang lớp 8 năm 2012-2013 nhỉ?
Ta có:
$S=\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}-\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1}$
$\rightarrow S=2-(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})\leq 2-\frac{4}{a+b+2}$ $(1)$
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$, ta có:
$2(a^2+b^2)\geq(a+b)^2$
$\rightarrow 2(a+b)\geq (a+b)^2$
$\rightarrow a+b\leq 2$
$\rightarrow\frac{4}{a+b+2}\geq\frac{4}{2+2}=1$ $(2)$
Từ $(1),(2)$ $\rightarrow\ S\leq 2-1=3$
Dấu $"='$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=1$
Vậy $max S=1$ $\leftrightarrow a=b=1$
2-1=3 hả nhầm rùi GTLN của là 1
2-1=3 hả nhầm rùi GTLN của là 1
Viết nhầm, đã sửa
$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$
If you see this, you will visit my facebook.....!
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh