Tìm 8 chữ số tận cùng của $5^{1995}$
Tìm 8 chữ số tận cùng của $5^{1995}$
#1
Đã gửi 11-03-2015 - 20:31
#2
Đã gửi 12-03-2015 - 10:20
Ta có:
$5^{1995}=5^{1984}.5^{11}$
Nếu ta cm được $(5^{1995}-5^{11})\vdots 10^{8}$ thì $5^{11}$ chính là 8 chữ số tận cùng của $5^{1995}$.
$5^{1995}-5^{11}=5^{11}(5^{1984}-1)$
Ta thấy:
$5^{1984}-1=(5^{31.32}-1)(5^{31.32}+1)=(5^{31.16}-1)(5^{31.16}+1)(5^{31.32}+1)=(5^{31.8}-1)(5^{31.8}+1)(5^{31.16}+1)(5^{31.32}+1)$
..................
$5^{1984}-1=(5^{31}-1)(5^{31}+1)(5^{31.2}+1)(5^{31.4}+1)(5^{31.8}+1)(5^{31.16}+1)(5^{31.32}+1)$
Nhận thấy $RHS$ có:
$(5^{31}-1)\vdots 2^{2}$
phần còn lại là tích $6$ số chẵn $\rightarrow $ tích $6$ thừa số này $\vdots 2^{6}$
Hay:
$(5^{1984}-1)\vdots 2^{8}$ $ (1)$
Hơn nữa:
$5^{11}\vdots 5^{8}$ $(2)$
Từ $(1) $ và $(2)$ ta được:
$(5^{1995}-5^{11})\vdots 10^{8}$
Hay nói cách khác: 8 chữ số tận cùng của $5^{1995}$ là $5^{11}=48828125$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cosette: 12-03-2015 - 10:26
- nhungvienkimcuong và duylax2412 thích
#3
Đã gửi 12-03-2015 - 15:02
Ta có:
$5^{1995}=5^{1984}.5^{11}$
Nếu ta cm được $(5^{1995}-5^{11})\vdots 10^{8}$ thì $5^{11}$ chính là 8 chữ số tận cùng của $5^{1995}$.
$5^{1995}-5^{11}=5^{11}(5^{1984}-1)$
Ta thấy:
$5^{1984}-1=(5^{31.32}-1)(5^{31.32}+1)=(5^{31.16}-1)(5^{31.16}+1)(5^{31.32}+1)=(5^{31.8}-1)(5^{31.8}+1)(5^{31.16}+1)(5^{31.32}+1)$
..................
$5^{1984}-1=(5^{31}-1)(5^{31}+1)(5^{31.2}+1)(5^{31.4}+1)(5^{31.8}+1)(5^{31.16}+1)(5^{31.32}+1)$
Nhận thấy $RHS$ có:
$(5^{31}-1)\vdots 2^{2}$
phần còn lại là tích $6$ số chẵn $\rightarrow $ tích $6$ thừa số này $\vdots 2^{6}$
Hay:
$(5^{1984}-1)\vdots 2^{8}$ $ (1)$
Hơn nữa:
$5^{11}\vdots 5^{8}$ $(2)$
Từ $(1) $ và $(2)$ ta được:
$(5^{1995}-5^{11})\vdots 10^{8}$
Hay nói cách khác: 8 chữ số tận cùng của $5^{1995}$ là $5^{11}=48828125$
Bạn làm sao chọn số $5^{11}$ tài vậy.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 12-03-2015 - 15:02
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#4
Đã gửi 12-03-2015 - 15:50
Bạn làm sao chọn số $5^{11}$ tài vậy.
Mình cũng mày mò thôi...Mình nghĩ như sau:
Số $A=5^{1995}$ chia cho $10^{8}$ sẽ có số dư là 1 số bằng 8 chữ số cuối cùng của A. Mà A tận cùng là 5 thì ta tìm xem có số nào có 8 chữ số và là lũy thừa của 5. Sau khi thử thì thấy $5^{11}$ thỏa, thế là ta làm tiếp như trên...
#5
Đã gửi 08-10-2017 - 21:57
Theo mik thì xét 52k và 52k+1 thì được 3 chữ số tận cùng là 625 và 125
xét 54k,54k+1,54k+2,54k+3 thì 4cs tận cùng lầ lượt 0625,3125,5625,8125
Tiếp tục 58k là 5cs tận cùng, 516k là 6cs tận cùng, 532 là 7 cs tận cùng và 564là 8cs tận cùng
Do 1995=64x31+11 . nên 51995 sẽ dồng dư với 511(mod108) hay có cùng 8cs tận cùng
Ps: giống 64k+11 và vớik=0 ấy
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh