Chủ đề này có 1 trả lời

[issacband365]

Cho phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0$. Giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{4}{3}$

[Lee LOng]

Ta có: $x=0$ Không là nghiệm của phương trình

$x\neq 0$: $PT\Leftrightarrow (x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+ax+\frac{c}{x}+b=0$

$\Rightarrow (x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}=(ax+\frac{c}{x}+b)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}})$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}}{x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}}}$

Đặt $x+\frac{1}{x}=t(\left | t \right |\geq 2)$

$\Rightarrow \frac{(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}}{x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}}}\geq \frac{4}{3}\Leftrightarrow 3(t^{2}-4)(t^{2}-\frac{4}{3})\geq 0 $(Đúng)

$\Rightarrow Đpcm$