Chủ đề này có 3 trả lời

[yeutoanmaimai1]

Bài 1

Tìm GTNN của $A=x+\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x}}$ ($x>0$)

Bài 2

Biết $x,y,z>0$ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=1$ Tìm GTNN của $B=\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}$

[vda2000]

Bài 1

Tìm GTNN của $A=x+\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x}}$ ($x>0$)

Bài 2

Biết $x,y,z>0$ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=1$ Tìm GTNN của $B=\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}$

Bài 1: $A>0$

$A-x=\sqrt{x^2+\frac{1}{x}}$

$\Rightarrow A^2-2Ax+x^2=x^2+\frac{1}{x}$

$\Rightarrow A^2-2Ax=\frac{1}{x}$

$\Rightarrow  A^2x-2Ax^2=1$

$\Rightarrow  2Ax^2-A^2x+1=0$

Phương trình trên có: $\Delta_x=A^4-8A=A(A^3-8)$

Phương trình trên phải có nghiệm nên $\Delta\geq 0$

$\Rightarrow A(A^3-8)\geq 0$

Do $A>0$ nên: $A^3-8\geq 0\Rightarrow A\geq 2$

Đẳng thức xảy ra tại phương trình trên có nghiệm kép: $x=\frac{A^2}{4A}=\frac{2^2}{4.2}=\frac{1}{2}$ (TM)

Vậy $min A=2$ tại $x=\frac{1}{2}$

 

Bài 2:

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có:

$\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq\frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}$

Có: $x+y+z\geq\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$ (Là bất đẳng thức: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$)

Do đó, $B\geq\frac{1}{2}$

Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=\frac{1}{3}$

Vậy $min B=\frac{1}{2}$ tại $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 15-03-2015 - 14:14

[GeminiKid]

 

Bài 2

Biết $x,y,z>0$ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=1$ Tìm GTNN của $B=\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}$

cách khác (sd cauchy ngược dấu)

$\frac{x^{2}}{x+y}= x-\frac{xy}{x+y}\geq x-\frac{xy}{2\sqrt{xy}}=x-\frac{\sqrt{xy}}{2}$

thiết lập các bđt tg tự có đpcm

chú ý $x+y+z\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$

[the man]

 

Bài 2

Biết $x,y,z>0$ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=1$ Tìm GTNN của $B=\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}$

$B\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2}=\frac{1}{2}$