9 replies to this topic

[yeutoanmaimai1]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2015}$

Chứng minh $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2015}{2}}$

dấu $=$ xảy ra khi nào?

2,Cho $a,b,c$ thỏa mãn $abc>1$ và $a^{3}>36$

Chứng minh $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$

Edited by yeutoanmaimai1, 17-03-2015 - 20:29.

[Phuong Thu Quoc]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2015}$

Chứng minh $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2015}{2}}$

dấu $=$ xảy ra khi nào?

 

Theo BĐT Hoán vị

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \sum \frac{b^{2}}{b+c};\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq\sum \frac{c^{2}}{b+c}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{b^{2}+c^{2}}{\sqrt{2\left ( b^{2}+c^{2} \right )}}=\frac{1}{2}\sum \frac{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2015}}{2\sqrt{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi 3 biến bằng nhau!

Edited by Phuong Thu Quoc, 17-03-2015 - 20:51.

[yeutoanmaimai1]

Theo Chebyshev:

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \sum \frac{b^{2}}{b+c};\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq\sum \frac{c^{2}}{b+c}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{b^{2}+c^{2}}{\sqrt{2\left ( b^{2}+c^{2} \right )}}=\frac{1}{2}\sum \frac{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2015}}{2\sqrt{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi 3 biến bằng nhau!

em không biết chebyshev.anh viết bđt đó ra được không

[baotranthaithuy]

Tham khảo tại đây

[huythcsminhtan]

câu 2 là 1>abc hay sao hở bạn

[yeutoanmaimai1]

câu 2 là 1>abc hay sao hở bạn

mình nghĩ là đề đúng.nếu abc<1 thì bạn trình bày lời giải được không

[JayVuTF]

2,Cho $a,b,c$ thỏa mãn $abc>1$ và $a^{3}>36$

Chứng minh $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$

$VT-VP=\dfrac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab-bc+2bc+\dfrac{a^{2}}{12}=(\dfrac{a}{2}-b-c)^{2}+\dfrac{a^{2}-36bc}{12}>0$

$\Rightarrow đpcm $

 

 

Cách khác:

Từ giả thiết suy ra $a>0và bc>0$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\dfrac{a^2}{3}+(b+c)^2-3bc-a(b+c)\ge 0\\ \iff \dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}\ge 0$

Vì $a^3>36 nên \dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}> \left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{1}{4}= \left(\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2 >0 $

 

 

Bài này trong VMF có ,trong topic BDT của CD13

 

[Phuong Thu Quoc]

em không biết chebyshev.anh viết bđt đó ra được không

Anh nhầm! Đó là BĐT Hoán vị (Tham khảo trong sách Sáng tạo BĐT của Phạm Kim Hùng)

[yeutoanmaimai1]

Anh nhầm! Đó là BĐT Hoán vị (Tham khảo trong sách Sáng tạo BĐT của Phạm Kim Hùng)

anh giả sử a>=b;a>=c à?

[Phuong Thu Quoc]

anh giả sử a>=b;a>=c à?

Ừ.

Nhưng đó chỉ là hình thức thôi.

Mình hiểu là được.