Chủ đề này có 4 trả lời

[Huyenpham]

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn điều kiện xyz=1

Tìm Min

$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(x+z)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

 

DE6

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huyenpham: 17-03-2015 - 22:47

[nguyenkhai29]

áp dụng $\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{d}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{c+d}$ 

E=$\sum \frac{x^{2}y^{2}z^{2}}{x^{3}\left ( y+z \right )}\geq \frac{\left ( yz+zx+xy \right )^{2}}{2\left ( xy+xz+yz \right )}\geq\frac{3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}}{2} =\frac{3}{2}$

dấu '=' xãy ra khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenkhai29: 17-03-2015 - 23:29

[Dinh Xuan Hung]

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn điều kiện xyz=1

Tìm Min

$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(x+z)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

 

DE6

$E=\sum \frac{1}{x^3(y+z)}=\sum \frac{\frac{1}{x^2}}{xy+xz}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}{2(xy+yz+xz)}=\frac{(xy+yz+xz)^2}{2(xy+yz+xz)}=\frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{(xyz)^2}}{2}=\frac{3}{2}$

[the man]

Theo Cô-si $\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{y+z}{4yz}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4x^3yz}}=\frac{1}{x}\Rightarrow E\geq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{3}{2}$

[KietLW9]

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y\geqslant z+x\geqslant y+z>0 & \\ \frac{x}{y+z}\geqslant \frac{y}{z+x}\geqslant \frac{z}{x+y}>0 & \end{matrix}\right.$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều và ngược chiều, ta được: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{1}{3}(x+y+z)(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})=\frac{1}{6}[(y+z)+(z+x)+(x+y)](\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})\geqslant \frac{1}{6}.3.[\frac{x}{y+z}.(y+z)+\frac{y}{z+x}.(z+x)+\frac{z}{x+y}.(x+y)]=\frac{x+y+z}{2}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-05-2021 - 15:56