Chủ đề này có 2 trả lời

[yeutoanmaimai1]

CM trong 53 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 27 số có tổng chia hết cho 27

[halloffame]

Gọi $A_{k}$ là mệnh đề "Trong $2k-1$ số nguyên dương bất kì, luôn tìm được $k$ số có tổng chia hết cho $k$ ".

Ta chứng minh $A_{3}$ đúng. Thật vậy, xét $5$ số $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ nguyên dương. 

Nếu có $3$ số có cùng số dư khi chia cho $3$ thì tổng $3$ số đó chia hết cho $3$.

Nếu không tồn tại $3$ số như vậy, sẽ có $3$ số mà mỗi số có $1$ số dư khác nhau khi chia cho $3$, tổng $3$ số đó chia hết cho $3$.

Vậy $A_{3}$ đúng. Bây giờ ta chứng minh $A_{9}$ đúng. Xét $17$ số $a_{1} \rightarrow a_{17}$ nguyên dương.

Xét $5$ số đầu, do $A_{3}$ đúng nên có $3$ số có tổng chia hết cho $3$, giả sử $a_{1}+a_{2}+a_{3} \vdots 3$. Đặt $\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3} = b_{1}$ thì $b_{1} \in \mathbb{N}$.

Bỏ $3$ số đầu ra, còn $14$ số. Làm tiếp như trên ta thu được $\frac{a_{4}+a_{5}+a_{6}}{3} = b_{2} \in \mathbb{N}$.

Tương tự ta sẽ thu được $5$ số $b_{1} \rightarrow b_{5}$ nguyên dương. Do $A_{3}$ đúng nên có $3$ số có tổng chia hết cho $3$, giả sử $b_{1}+b_{2}+b_{3} \vdots 3$. 

Như vậy $\frac{\sum_{i=1}^{9}a_{i}}{3} \vdots 3 \rightarrow \sum_{i=1}^{9}a_{i} \vdots 9 $. Vậy $A_{9}$ đúng.

Bằng phương pháp tương tự, với chú ý $A_{3}$ và $A_{9}$ đúng, ta suy ra $A_{27}$ đúng. Bài toán được chứng minh.

[tran khanh hung]

sử dụng đi ricle co đc k

xet tong may so bat ki roi dua lai thanh 1 nhom