Chủ đề này có 3 trả lời

[Linhh Chii]

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{2}}$

[dogsteven]

$\dfrac{2a^2}{b}+3(b-a)\geqslant 2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$

[longatk08]

Áp dụng BĐT Holder ta có:

$(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})^2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)\geq (a^2+b^2+c^2)^3$

$\rightarrow (\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})^2\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$

Vậy ta sẽ CM

$\frac{(x+y+z)^3}{xy+yz+xz}\geq \sum (\sqrt{x+y})^2$

$\Leftrightarrow (xy+yz+xz)(\sum \sqrt{x+y})^2\leq (x+y+z)^3$

Chuẩn hóa $x+y+z=1$ ta có:

$xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}$

$(\sum \sqrt{x+y})^2\leq 3.2=6$

Vậy ta có đpcm

[KietLW9]

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{2}}$

$VT-VP=\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2(4\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+2a+b)}{4b(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\frac{a+b}{2})}\geqslant 0$