Cho a,b,c là các số thực dương. CMR $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{2}}$
$\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$
#1
Đã gửi 19-03-2015 - 19:51
#2
Đã gửi 19-03-2015 - 20:54
$\dfrac{2a^2}{b}+3(b-a)\geqslant 2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$
- issacband365 yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#3
Đã gửi 19-03-2015 - 22:20
Áp dụng BĐT Holder ta có:
$(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})^2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)\geq (a^2+b^2+c^2)^3$
$\rightarrow (\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})^2\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$
Vậy ta sẽ CM
$\frac{(x+y+z)^3}{xy+yz+xz}\geq \sum (\sqrt{x+y})^2$
$\Leftrightarrow (xy+yz+xz)(\sum \sqrt{x+y})^2\leq (x+y+z)^3$
Chuẩn hóa $x+y+z=1$ ta có:
$xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}$
$(\sum \sqrt{x+y})^2\leq 3.2=6$
Vậy ta có đpcm
- lahantaithe99 và issacband365 thích
#4
Đã gửi 04-05-2021 - 15:39
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{2}}$
$VT-VP=\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2(4\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+2a+b)}{4b(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\frac{a+b}{2})}\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh