Chủ đề này có 30 trả lời

[longatk08]

Các bạn thử dùng định lý ABC xem chắc chắn sẽ làm đc!

[dogsteven]

Giả sử $a=\text{min}\{a,b,c\}$. Đặt $t=-a+\sqrt{(a+b)(a+c)}$ thì $a(2t-b-c)=bc-t^2\Rightarrow b+c\geqslant 2t\geqslant 2\sqrt{bc}$

$\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}-\dfrac{2}{t^2+1}=\dfrac{(b^2+c^2)t^2-(bc)^2+2t^2-b^2-c^2}{(b^2+1)(c^2+1)}\geqslant 0$

Do đó $\sum \dfrac{1}{a^2+1}\geqslant \dfrac{1}{\dfrac{(3-t^2)^2}{4t^2}+1}+\dfrac{2}{t^2+1}$

Đến đây biến đổi tương đương.

[NoHechi]

Sao lại thế vậy!

Oh ,xin lỗi mình nhầm ,thôi coi như cái chuyên đề cho nên các bạn xem vậy ,mình làm tắt bước đó nên có chút nhầm nhọt ,sai lệch  thành thật sorry nha

[longatk08]

Đặt $a+b+c=3u,ab+bc+ac=3v^2,abc=w^3$ dễ dàng kiểm tra đc BĐT cần chứng minh tương đương với:$f(w^3)\leq 0$

$f(w^3)$ là 1 hàm lồi nên theo phương pháp $uvw$ ta sẽ chỉ cần kiểm tra BĐT trong TH là $a=b$ hoặc $c=0$.Cả 2 TH này đều cho ta kết quả đúng.

[dogsteven]

Đặt $a+b+c=3u,ab+bc+ac=3v^2,abc=w^3$ dễ dàng kiểm tra đc BĐT cần chứng minh tương đương với:$f(w^3)\leq 0$

$f(w^3)$ là 1 hàm lồi nên theo phương pháp $uvw$ ta sẽ chỉ cần kiểm tra BĐT trong TH là $a=b$ hoặc $c=0$.Cả 2 TH này đều cho ta kết quả đúng.

Tôi nghĩ rằng lời giải này và lời giải dồn biến của tôi hoàn toàn giống nhau.

[longatk08]

Tôi nghĩ rằng lời giải này và lời giải dồn biến của tôi hoàn toàn giống nhau.

Nhưng chắc chắn sẽ đỡ hơn về phần tính toán bn ạ.

[dogsteven]

Nhưng chắc chắn sẽ đỡ hơn về phần tính toán bn ạ.

Không đỡ hơn đâu bạn, ngồi đó mà chứng minh lại ABC là mất vài dòng khai triển và ẩn phụ cho đại lượng $\prod (a-b)^2$, sau đó ngồi đạo hàm 2 lần và rồi xét đến 2 trường hợp.

[longatk08]

Không đỡ hơn đâu bạn, ngồi đó mà chứng minh lại ABC là mất vài dòng khai triển và ẩn phụ cho đại lượng $\prod (a-b)^2$, sau đó ngồi đạo hàm 2 lần và rồi xét đến 2 trường hợp.

Sao lại có cái đại lượng đó hả bạn mình thấy chỉ cần chứng minh hàm theo $w^3$ là hàm lồi thôi mà còn cái kia quy đồng vài bước là ra thôi không cần phải đặt ẩn làm gì đâu...

[dogsteven]

Sao lại có cái đại lượng đó hả bạn mình thấy chỉ cần chứng minh hàm theo $w^3$ là hàm lồi thôi mà còn cái kia quy đồng vài bước là ra thôi không cần phải đặt ẩn làm gì đâu...

Mà để làm theo một cách sơ cấp thì phải dùng đại lượng đó

[longatk08]

Mà để làm theo một cách sơ cấp thì phải dùng đại lượng đó

Bạn có thể cho mình xem lời giải của bạn đc k

[KietLW9]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. CMR:

$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

Trong 3 số $ab,bc,ca$ tồn tại 1 số lớn hơn hoặc bằng 1 vì nếu cả 3 số đều bé hơn 1 thì tổng sẽ bé hơn 3 (vô lí)

Giả sử $ab\geqslant 1$

$\Rightarrow \frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}-\frac{2}{ab+1}=\frac{(a-b)^2(ab-1)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)}\geqslant 0\Rightarrow \frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geqslant \frac{2}{ab+1}$

Ta cần chứng minh: $\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow c^2+3-ab\geqslant 3abc^2\Leftrightarrow c^2+bc+ca\geqslant 3abc^2\Leftrightarrow a+b+c\geqslant 3abc$

Đúng do: $\left\{\begin{matrix}a+b+c\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}=3 & \\ 3=ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}  & \end{matrix}\right.$