Chủ đề này có 4 trả lời

[yeutoanmaimai1]

1,Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh $\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{c+b-a}+\frac{ac}{a+c-b}\geq a+b+c$

2,Cho $x,y,z,t$ thỏa mãn $\frac{11-3y^{2}-3z^{2}-2xz-2yt}{x^{2}+xt+t^{2}+1}=2$ Tìm $max,min$ của $x+y+z+t$

3,Cho $a,b,c$ thỏa mãn $(1+a)(1+b)=\frac{9}{4}$ Tìm GTNN của $P=\sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}}$

[Lee LOng]

2,$\frac{11-3y^{2}-3z^{2}-2xz-2yz}{x^{2}+xt+t^{2}+1}=2$

$\Rightarrow 9=2x^{2}+2xt+2t^{2}+3y^{2}+3z^{2}+2xz+2yt+=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}+(x^{2}+y^{2})+2xt+2xz+(y^{2}+z^{2})+2yt+(z^{2}+t^{2})\geq (x+y+z+t)^{2}$

[Lee LOng]

1,Đặt $a+b-c=x;b+c-a=y;a+c-b=z\Rightarrow a=\frac{x+z}{2};b=\frac{x+y}{2};c=\frac{y+z}{2}$

BĐT$\Leftrightarrow \frac{(x+z)(x+y)}{x}+\frac{(y+z)(x+y)}{y}+\frac{(x+z)(y+z)}{z}\geq 4(x+y+z)$

$\Leftrightarrow 3(x+y+z)+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\geq 4(x+y+z)$

$\Leftrightarrow \frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\geq x+y+z $

Áp dụng BĐT Cô si

$\Rightarrow Đpcm$

[Dinh Xuan Hung]

 

3,Cho $a,b,c$ thỏa mãn $(1+a)(1+b)=\frac{9}{4}$ Tìm GTNN của $P=\sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}}$

$(1+a)(1+b)=\frac{9}{4}\Leftrightarrow 1+a+b+ab=\frac{9}{4}\Leftrightarrow a+b+ab=\frac{5}{4}$

AM-GM:

$a^2+b^2\geq 2ab$

$2(a^2+\frac{1}{4})\geq 2a$

$2(b^2+\frac{1}{4})\geq 2b$

$\Rightarrow 3(a^2+b^2)+1\geq2(a+b+ab)=\frac{5}{2} \Leftrightarrow a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$

$P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\geq \sqrt{(1+1)^2+(a^2+b^2)^2}\geq \sqrt{4+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}$

DBXR khi $x=y=\frac{1}{2}$

[yeutoanmaimai1]

còn GTNN câu 2 nữa