Chủ đề này có 2 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 4(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

[dogsteven]

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì ta có:

$$c[4(a-b)(a^2+b^2+ab-c^2)+2c^2(a+b)+c^3]\geqslant 0\\ \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2-(a^2+b^2)^2\geqslant 4(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)-4ab(a-b)(a+b)$$

Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $c=0$. Chuẩn hóa $b=1$ thì ta cần có:

$$(a^2+1)^2\geqslant 4a(a^2-1)\Leftrightarrow (a^2-2a-1)^2\geqslant 0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 23-03-2015 - 13:54

[binhnhaukhong]

Vì đây là BĐT hoán vị nên tất nhiên ta phải xét 2 TH là $a\geq b\geq c$ và $cgeq b\geq a$.Thế nhưng nếu xét TH $a\geq b\geq c$ thì có $VT\geq 0$ còn $VP\leq 0$ nên BĐT hiển nhiên đúng.

Xét TH $cgeq b\geq a\geq 0$ Áp dụng BĐT AM-GM có:

$VT=4(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)=4(a+b+c)(b-a).(c-b)(c-a)\leq [(a+b+c)(b-a)+(c-a)(c-b)]^2$

Từ đó ta sẽ quy về CM:

$a^2+b^2+c^2\geq  (a+b+c)(b-a)+(c-a)(c-b)$

Thu gọn lại ta cần CM $a(2a+2c-b)\geq 0$ BĐT này đúng trong TH đang xét.