Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 4(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
Chứng minh rằng $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 4(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
#1
Đã gửi 23-03-2015 - 12:01
#2
Đã gửi 23-03-2015 - 13:53
Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì ta có:
$$c[4(a-b)(a^2+b^2+ab-c^2)+2c^2(a+b)+c^3]\geqslant 0\\ \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2-(a^2+b^2)^2\geqslant 4(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)-4ab(a-b)(a+b)$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $c=0$. Chuẩn hóa $b=1$ thì ta cần có:
$$(a^2+1)^2\geqslant 4a(a^2-1)\Leftrightarrow (a^2-2a-1)^2\geqslant 0$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 23-03-2015 - 13:54
- Ngoc Hung, nguyenhongsonk612 và the man thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#3
Đã gửi 23-03-2015 - 17:03
Vì đây là BĐT hoán vị nên tất nhiên ta phải xét 2 TH là $a\geq b\geq c$ và $cgeq b\geq a$.Thế nhưng nếu xét TH $a\geq b\geq c$ thì có $VT\geq 0$ còn $VP\leq 0$ nên BĐT hiển nhiên đúng.
Xét TH $cgeq b\geq a\geq 0$ Áp dụng BĐT AM-GM có:
$VT=4(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)=4(a+b+c)(b-a).(c-b)(c-a)\leq [(a+b+c)(b-a)+(c-a)(c-b)]^2$
Từ đó ta sẽ quy về CM:
$a^2+b^2+c^2\geq (a+b+c)(b-a)+(c-a)(c-b)$
Thu gọn lại ta cần CM $a(2a+2c-b)\geq 0$ BĐT này đúng trong TH đang xét.
- Ngoc Hung, nguyenhongsonk612 và dogsteven thích
Quy Ẩn Giang Hồ.
So goodbye!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh