Chủ đề này có 3 trả lời

[Huyenpham]

Cho x,y,z>0 và xyz=1

Tìm MIN $P=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

[yeutoanmaimai1]

Cho x,y,z>0 và xyz=1

Tìm MIN $P=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

 

xyz=1 $\Rightarrow$  x=$\dfrac{1}{zy}$ ; y=$\dfrac{1}{xz}$ ; z=$\dfrac{1}{xy}$

 

P= $\frac{z^{2}.y^{2}}{x(z+y)}$+ $\frac{x^{2}.z^{2}}{y(x+z)}$+ $\frac{x^{2}.y^{2}}{z(x+y)}$

$\geq $  $\frac{(xy+yz+xz)^{2}}{2(xy+yz+xz)}$= $\frac{xy+yz+xz}{2}$ (BĐT Bunhia copxky)

$\geq$  $\frac{3.\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{2}$

= $\frac{3}{2}$

 

dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

 

[Dinh Xuan Hung]

Cho x,y,z>0 và xyz=1

Tìm MIN $P=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

$P=\sum \frac{1}{x^3(y+z)}= \sum \frac{\frac{1}{x^2}}{xy+xz}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}{2(xy+yz+xz)}=\frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{(xyz)^2}}{2}=\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 24-03-2015 - 20:35

[the man]

Theo Cô-si $\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{y+z}{4yz}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4x^3yz}}=\frac{1}{x}\Rightarrow E\geq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{3}{2}$