Chủ đề này có 2 trả lời

[vutuannam]

Giải phương trình nghiệm nguyên $x(x^{2}+x+1)=4y(y+1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 25-03-2015 - 21:33

[nangcuong8e]

Giải phương trình nghiệm nguyên $x(x^{2}+x+1)=4y(y+1)$

Ta có: +, Xét $x=0$, ta có $4y(y+1) =0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=0
 & \\ y=-1
 &
\end{matrix}\right.$
+, Xét $x > 0$, ta có: $x(x^2 +x+1) =4y(y+1) \Rightarrow x^2 +x +1 =\frac{4y(y+1)}{x}$
 Ta dễ dàng chứng minh được $x(x+1) <x^2 +x +1 <(x+1)(x+2) \Rightarrow$ Không tồn tại $x>0$ thỏa mãn phương trình
+, Xét $x< -1$, ta cũng có $x^2 +x +1 =\frac{4y(y+1)}{x}$, đồng thời cùng chứng minh được $(x+1)^2 <x^2 +x +1< x^2$
Do đó cũng không có $x<-1$ để phương trình có nghiệm
+, Xét $x= -1$ thì phương trình tương đương $-1(1^2-1 +1) =4y(y+1) \Leftrightarrow -1 =4y(y+1)$ (vô lí)
Vậy: Phương trình có nghiệm nguyên $(x;y) =(0;0);(0;-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 25-03-2015 - 21:54

[nangcuong8e]

Ta có: +, Xét $x=0$, ta có $4y(y+1) =0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=0
 & \\ y=-1
 &
\end{matrix}\right.$
+, Xét $x > 0$, ta có: $x(x^2 +x+1) =4y(y+1) \Rightarrow x^2 +x +1 =\frac{4y(y+1)}{x}$
 Ta dễ dàng chứng minh được $x(x+1) <x^2 +x +1 <(x+1)(x+2) \Rightarrow$ Không tồn tại $x>0$ thỏa mãn phương trình
+, Xét $x< -1$, ta cũng có $x^2 +x +1 =\frac{4y(y+1)}{x}$, đồng thời cùng chứng minh được $(x+1)^2 <x^2 +x +1< x^2$
Do đó cũng không có $x<-1$ để phương trình có nghiệm
+, Xét $x= -1$ thì phương trình tương đương $-1(1^2-1 +1) =4y(y+1) \Leftrightarrow -1 =4y(y+1)$ (vô lí)
Vậy: Phương trình có nghiệm nguyên $(x;y) =(0;0);(0;-1)$

Bài giải trên sai.
MÌNH XIN ĐƯỢC GIẢI LẠI.
 Ta có: $x(x^2+x+1) =4y(y+1) \Leftrightarrow x^3 +x^2 +x +1= 4y^2 +4y +1 \Leftrightarrow (x^2+1)(x+1) =(2y+1)^2 $ (1)
Gọi $d$ là Ước chung lớn nhất của $x^2+1;x+1$ hay $d =(x^2+1;x+1)$ thì có:
  $x+1 \vdots d \Rightarrow (x-1)(x+1) \vdots d \Leftrightarrow x^2 -1 \vdots d$ mà $x^2+1 \vdots d$ nên $2 \vdots d$
Lại thấy do $(2y+1)^2$ là số lẻ với mọi $y$ nên $d=1$ (2)

 Từ (1), (2) suy ra: $x^2+1$ và $x+1$ là các số chính phương.
Đặt $x^2 +1 =a^2 (a \epsilon N)$ thì suy ra được $(a-x)(a+x) =1 \Rightarrow x =0$
 Thay $x=0$ vào ta được $y=0$ hoặc $y=-1$
Vậy: Phương trình có nghiệm nguyên $(x;y) =(0;1);(0;0)$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 25-03-2015 - 22:13