cho m,n nguyên dương thỏa mãn $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> 0$
Chứng minh $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> \frac{1}{mn}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GeminiKid: 30-03-2015 - 17:41
cho m,n nguyên dương thỏa mãn $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> 0$
Chứng minh $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> \frac{1}{mn}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GeminiKid: 30-03-2015 - 17:41
cho m,n nguyên dương thỏa mãn $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> 0$
Chứng minh $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> \frac{1}{mn}$
với $m=1$ thì $\sqrt{7}n>\sqrt{7}>2=m+\frac{1}{m}$ do đó ta xét với $m>1$
từ giả thiết
$\sqrt{7}-\frac{m}{n}>0\Rightarrow 7n^2>m^2\Rightarrow 7n^2\geq m^2+1$
dễ thấy
$m^2\equiv 0,1,2,4(mod\ 7)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^2+1\not \vdots 7\\ m^2+2\not \vdots 7 \end{matrix}\right.$
do đó ta có $\left\{\begin{matrix} m^2+1=7n^2\\m^2+2=7n^2 \end{matrix}\right.$ là điều không thể xảy ra
$\Rightarrow 7n^2\geq m^2+3>(m+\frac{1}{m})^2\Rightarrow \sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}\Rightarrow Q.E.D$
U-Th
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
với $m=1$ thì $\sqrt{7}n>\sqrt{7}>2=m+\frac{1}{m}$ do đó ta xét với $m>1$
từ giả thiết
$\sqrt{7}-\frac{m}{n}>0\Rightarrow 7n^2>m^2\Rightarrow 7n^2\geq m^2+1$
dễ thấy
$m^2\equiv 0,1,2,4(mod\ 7)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^2+1\not \vdots 7\\ m^2+2\not \vdots 7 \end{matrix}\right.$
do đó ta có $\left\{\begin{matrix} m^2+1=7n^2\\m^2+2=7n^2 \end{matrix}\right.$ là điều không thể xảy ra
$\Rightarrow 7n^2\geq m^2+3>(m+\frac{1}{m})^2\Rightarrow \sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}\Rightarrow Q.E.D$
U-Th
Cách 2
$mn=1\Leftrightarrow m=n=1\Rightarrow$bđt hiển nhiên đúng
$mn\geq 2$
từ gt $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> 0\Rightarrow m< n\sqrt{7}\Rightarrow m\leq \left [ n\sqrt{7} \right ]=2n$
$\Rightarrow 2-\frac{m}{n}\geq 0,\left ( \sqrt{7}-2 \right )-\frac{1}{mn}> \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$
=>Q.E.D
vừa post bài lên phát thì nghĩ ra luôn . diễn đàn mk đúng là có điều kì diệu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GeminiKid: 30-03-2015 - 18:56
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh