Chủ đề này có 2 trả lời

[GeminiKid]

cho m,n nguyên dương thỏa mãn $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> 0$
Chứng minh $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> \frac{1}{mn}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GeminiKid: 30-03-2015 - 17:41

[nhungvienkimcuong]

cho m,n nguyên dương thỏa mãn $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> 0$
Chứng minh $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> \frac{1}{mn}$

với $m=1$ thì $\sqrt{7}n>\sqrt{7}>2=m+\frac{1}{m}$ do đó ta xét với $m>1$

từ giả thiết 

$\sqrt{7}-\frac{m}{n}>0\Rightarrow 7n^2>m^2\Rightarrow 7n^2\geq m^2+1$

dễ thấy 

$m^2\equiv 0,1,2,4(mod\ 7)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^2+1\not \vdots 7\\ m^2+2\not \vdots 7 \end{matrix}\right.$

do đó ta có $\left\{\begin{matrix} m^2+1=7n^2\\m^2+2=7n^2 \end{matrix}\right.$ là điều không thể xảy ra 

$\Rightarrow 7n^2\geq m^2+3>(m+\frac{1}{m})^2\Rightarrow \sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}\Rightarrow Q.E.D$

 

U-Th

[GeminiKid]

với $m=1$ thì $\sqrt{7}n>\sqrt{7}>2=m+\frac{1}{m}$ do đó ta xét với $m>1$

từ giả thiết 

$\sqrt{7}-\frac{m}{n}>0\Rightarrow 7n^2>m^2\Rightarrow 7n^2\geq m^2+1$

dễ thấy 

$m^2\equiv 0,1,2,4(mod\ 7)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^2+1\not \vdots 7\\ m^2+2\not \vdots 7 \end{matrix}\right.$

do đó ta có $\left\{\begin{matrix} m^2+1=7n^2\\m^2+2=7n^2 \end{matrix}\right.$ là điều không thể xảy ra 

$\Rightarrow 7n^2\geq m^2+3>(m+\frac{1}{m})^2\Rightarrow \sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}\Rightarrow Q.E.D$

 

U-Th

Cách 2

$mn=1\Leftrightarrow m=n=1\Rightarrow$bđt hiển nhiên đúng

$mn\geq 2$

từ gt $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> 0\Rightarrow m< n\sqrt{7}\Rightarrow m\leq \left [ n\sqrt{7} \right ]=2n$

$\Rightarrow 2-\frac{m}{n}\geq 0,\left ( \sqrt{7}-2 \right )-\frac{1}{mn}> \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$

=>Q.E.D

 

vừa post bài lên phát thì nghĩ ra luôn  . diễn đàn mk đúng là có điều kì diệu 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GeminiKid: 30-03-2015 - 18:56