Chủ đề này có 3 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})\geq \frac{1000}{729}$

[Trang Luong]

Cho a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})\geq \frac{1000}{729}$

Ta có:

$(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})=a^{2}+b^{2}+c^{2}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}c^{3}+1$    

Áp dụng BĐT Cauchy

 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}+1\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{2}{9}(ab+bc+ca)+\frac{2}{27}abc+\frac{701}{729}$ $(*)$ 

Lại có : 

$(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{8}{27}$

$\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq \frac{8}{27}+abc$

$\Leftrightarrow \frac{11}{27}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc$, 

kết hợp với $a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$, thay vào $(*)$ được$(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})\geq \frac{1000}{729}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 02-04-2015 - 09:33

[khanghaxuan]

Giả sử $c=min\begin{Bmatrix} a;b;c \end{Bmatrix}$   nên $\Rightarrow c\leq \frac{1}{3}$

 

Ta có :   $VT=(1+c^{2})(\frac{1}{9}+a^{2})(\frac{1}{9}+b^{2})+(1+c^{2})(\frac{80}{81}+\frac{8}{9}(a^{2}+b^{2}))$

 

                $\geq (1+c^{2})(\frac{a+b}{3})^{2}+(1+c^{2})(\frac{80}{81}+\frac{4}{9}(a+b)^{2})$

 

               $=(1+c^{2})(\frac{(1-c)^{2}}{9})+(1+c^{2})(\frac{80}{81}+\frac{4}{9}(1-c)^{2})$

 

                $=\frac{5}{9}c^{4}-\frac{10}{9}c^{3}-\frac{10}{9}c+\frac{170}{81}c^{2}+\frac{125}{81}$

 

Ta cần chứng minh :    $\frac{5}{9}c^{4}-\frac{10}{9}c^{3}-\frac{10}{9}c+\frac{170}{81}c^{2}+\frac{125}{81}\geq \frac{1000}{729}$

 

      $\Leftrightarrow f(c)=\frac{5}{9}c^{4}-\frac{10}{9}c^{3}-\frac{10}{9}c+\frac{170}{81}c^{2}+\frac{125}{81}\geq 0$ 

 

Thật vậy :  $f^{'}(c)=20c^{3}-30c^{2}-10+\frac{340}{9}c=(c-\frac{1}{3})(...)\leq 0$ 

 

Nên $f(c)\geq f(\frac{1}{3})=0$ 

 

Vậy ta có ĐPCM 

[dogsteven]

Giả sử $a=\text{max}\{a,b,c\}$ thì ta có $b+c\leqslant \dfrac{2}{3}$, vậy là ta có

$(4+4b^2)(4+4c^2)-(4+(b+c)^2)^2=(b-c)^2[8-(b+c)^2-4bc]\geqslant 0$

Cho $b=c$ được $a=1-2b$ thì ta cần có $[1+(1-2b)^2](1+b^2)^2\geqslant \dfrac{1000}{729}$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.