Chủ đề này có 1 trả lời

[hangyeutara]

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số T= $2^n+3^n+4^n$ là số chính phương

[Ngoc Hung]

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số T= $2^n+3^n+4^n$ là số chính phương

 

- Nếu n = 1 thì T = 9 thỏa mãn. 
- Xét trường hợp n > 1 hay $n\geq 2$ thì $2^{n}+4^{n}$ chia hết cho 4, mà $3^{n}$ chia cho 4 dư 1 hoặc -1 tương ứng n chẵn hoặc lẻ.

Mà một số chính phương chia cho 4 thì dư 0 hoặc 1, do đó T phải chia 4 dư 1 nên $3^{n}$ chia 4 dư 1 suy ra n chẵn 

Với n chẵn: 2 chia 3 dư -1 nên $2^{n}$ chia 3 dư 1, 4 chia 3 dư 1 nên $4^{n}$ chia 3 dư 1, $3^{n}$ chia hết cho 3. Do đó T chia 3 dư 2 (vô lí) Vì một số chính phương thì chia 3 dư 0 hoặc 1. 
Vậy n = 1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn bài toán. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 03-04-2015 - 12:08