Chủ đề này có 6 trả lời

[yeudiendanlamlam]

Cho $\Delta ABC$ có chu vi bằng $2$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2+2abc< 2$

[dogsteven]

Đặt $a=y+z, b=z+x, c=x+y$ thì $a^2+b^2+c^2+2abc=2-2xyz<2$

[NoHechi]

Đặt $a=y+z, b=z+x, c=x+y$ thì $a^2+b^2+c^2+2abc=2-2xyz<2$

  x,y,z là cạnh tam giác ?

[HoangVienDuy]

dễ thấy a,b,c <1

$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 0\Leftrightarrow 1-(a+b+c)+ab+bc+ca\geq abc\Leftrightarrow 2+abc\leq 2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 2+abc+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq (a+b+c)^{2}=4\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc\leq 2$

dấu bằng không xảy ra nên ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 03-04-2015 - 20:02

[dogsteven]

  x,y,z là cạnh tam giác ?

Là các số dương

[Hoang Nhat Tuan]

a<b+c => 2a<a+b+c=2 => a<1

Tương tự: b,c<1

Do đó: (1-a)(1-b)(1-c)>0. Rút gọn ta được:

ab+bc+ca>1+abc

Lại có: $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)$

=> 4=$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)$

Do đó 4>$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(1+abc)$

=> $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc<2$

[ducvipdh12]

bài tóan này tương đối nhiều cách,em có thể dùng đến BĐT phụ sau $a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ac$ ( đúng với trường hợp a,b,c là 3 cạnh của tam giác) rồi biến đổi cơ bản là ra ( để ý vai trò a,b,c như nhau nên có thể giả sử a= max {a,b,c} ) hoặc có thể thay c=2-(a+b) vào BĐT cần chứng minh cũng đc