Chủ đề này có 11 trả lời

[Riann levil]

    UBND tỉnh Bắc Ninh                                                          ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Sở GD & ĐT tỉnh Bắc Ninh                                                            NĂM HỌC: 2014 - 2015

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                      Môn thi: Toán - lớp 9

                                                                                                Ngày thi: 2 tháng 4 năm 2015

 

 

 

 

 

Câu 1: Cho P = ( mình quên đề rồi)

            Rút gọn P với $a > 0, b> 0, a\neq b$

 

Câu 2: Cho phương trình $x^{2}-x-1=0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$

 

            a, Tính giá trị của biểu thức Q= $x^{5}_{1}+x^{5}_{2}$

            b, Cho $P(x)=\sqrt{x^{8}+12x+12}-3x$. Chứng minh rằng $P(x_{1})=P(x_{2})$

 

Câu 3: a,Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của x thỏa mãn $\left | 2x-1 \right |+\left | 3x-4 \right |+\left | 4x-5 \right |+\left | 5x-4 \right |=4$. Chứng minh rằng M.m = 1

 

           b, Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^{6}+x^{3}y=y^{3}+2y^{2}$

 

Câu 4: Cho (O;R) và hai đường kính AB và CD thay đổi. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lần lượt cắt BC và BD ở E,F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AE, AF.

            a, Chứng minh trung điểm H của AO là trực tâm tam giác BPQ.

            b, Tìm điều kiện của AB và CD để  điện tích tam giác BPQ đạt min

            c, Chứng minh rằng $CE.DF.EF= CD^{3}$ và $(\frac{BE}{BF})^{3}= \frac{CE}{DF}$

 

Câu 5: a, Gọi m và n lần lượt là số chữ số của $2^{2015}$ và $5^{2015}$. Tính m+n

 

           b, Cho (O;1) và 3 điểm A,B,C tùy ý. Chứng minh rằng luôn tồn tại điểm M nằm trên đường tròn sao cho $MA+MB+MC\geq 3$

 

[hoctrocuaZel]

Đề này chỉ có 3/b . 5/a/b khó!

5.a/

$10^{m-1}<2^{2015}<2^m\Rightarrow 10^{m+n-2}<10^{2015}<10^{m+n}\Rightarrow m+n=2016$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 05-04-2015 - 10:06

[Nguyen Minh Hai]

Đề này chỉ có 3/b . 5/a/b khó!

5.a/

$10^{m-1}>2^{2015}<2^m\Rightarrow 10^{m+n-2}<10^{2015}<10^{m}\Rightarrow m+n=2016$

sai hết rồi kìa!

$\left\{\begin{matrix} 10^{m-1}<2^2015<10^m & & \\ 10^{n-1}<5^2015<10^n & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 10^{m+n-2}<10^{2015}<10^{m+n}$

$\Rightarrow m+n-1=2015\Rightarrow m+n=2016$

@Huongthphan: Đã fix

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 05-04-2015 - 10:06

[vda2000]

    UBND tỉnh Bắc Ninh                                                          ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Sở GD & ĐT tỉnh Bắc Ninh                                                            NĂM HỌC: 2014 - 2015

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                      Môn thi: Toán - lớp 9

                                                                                               Ngày thi: 2 tháng 4 năm 2015

 

Câu 5:

           b, Cho (O;1) và 3 điểm A,B,C tùy ý. Chứng minh rằng luôn tồn tại điểm M nằm trên đường tròn sao cho $MA+MB+MC\geq 3$

Vẽ một đường kính $DE$ bất kì.

Ta có theo quy tắc $3$ điểm thì:

$DA+EA\geq DE=2$

$DB+EB\geq DE=2$

$DC+EC\geq DE=2$

$\Rightarrow (DA+DB+DC)+(EA+EB+EC)\geq 6$

Nếu $DA+DB+DC\geq 3$ thì $D$ chính là $M$ cần tìm.

Nếu $DA+DB+DC<3$ thì suy ra: $EA+EB+EC>3$ nên $E$ chính là $M$ cần tìm.

[Nguyen Minh Hai]

Câu 3a $M.m=\frac{2}{3}$ phải chứ???

[nangcuong8e]

    UBND tỉnh Bắc Ninh                                                          ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Sở GD & ĐT tỉnh Bắc Ninh                                                            NĂM HỌC: 2014 - 2015

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                      Môn thi: Toán - lớp 9

                                                                                                Ngày thi: 2 tháng 4 năm 2015

 

 

Câu 3:  b, Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^{6}+x^{3}y=y^{3}+2y^{2}$

 

 

Ta có: $x^6 +x^3y =y^3 +2y^2 \Leftrightarrow  4x^6 +4x^3y +y^2 =4y^3 +9y^2 \Leftrightarrow (2x^3+y)^2 =y^2(4y+9)$
Do $(2x^3+y)^2$ và $y^2$ đều là số chính phương nên $4y +9$ cũng là số chính phương
  Đặt $4y +9 =a^2 \Rightarrow y =\frac{(a-3)(a+3)}{4}$ thay vào, ta có: (chỉ xét với $a$ dương)
$(2x^3+y)^2 =[\frac{a(a-3)(a+3)}{4}]^2 \Rightarrow 2x^3 +y =\frac{a(a-3)(a+3)}{4}$ (do $x,y$ nguyên dương)
$\Leftrightarrow (2x)^3 =(a-4)(a-3)(a+3) =a^3 -4x^2 -9x +36$ 

  Đến đây chắc là kẹp để tìm $a$, sau đó tìm $y =\frac{(a-3)(a+3)}{4}$ 

[Riann levil]

Câu 3a $M.m=\frac{2}{3}$ phải chứ???

Mình ra $\frac{4}{5}\leq x\leq \frac{5}{4}$

[nangcuong8e]

Mình ra $\frac{4}{5}\leq x\leq \frac{5}{4}$

Bạn làm thế nào ạ!!

[Riann levil]

Bạn làm thế nào ạ!!

Ta có:

$\left | 3x-4 \right |= \left | 4-3x \right |\geq 4-3x$ ( dấu bằng khi $x\leq \frac{4}{3}$)

$\left | 4x-5 \right |= \left | 5-4x \right |\geq 5-4x$ ( dấu bằng khi $x\leq \frac{5}{4}$)

$\left | 5x-4 \right |\geq 5x-4$ ( dấu bằng khi $x\geq \frac{4}{5}$)

$\left | 2x-1 \right |\geq 2x-1$ ( dấu bằng khi $x\geq \frac{1}{2}$)

cộng vào ta có: VT $\geq$ VP ( dấu bằng khi $\frac{4}{5}\leq x\leq \frac{5}{4}$)

[FindMax]

Câu 3: 

Áp dụng bđt   \left | a \right | + \left | b \right | \geq \left | a+b \right |

Dấu bằng khi và chỉ khi ab\geq 0

 

$\left | 2x -1 \right |+\left | 4x-5 \right |= \left | 2x-1 \right |+\left | 5-4x \right |\geq \left | 4-2x \right |$

$\left | 3x-4 \right |+\left | 5x-4 \right |=\left | 4-3x \right |+\left | 5x-4 \right |\geq \left | 2x \right |$

 $\left | 4-2x \right |+\left | 2x \right |\geq \left | 4 \right |=4$

$\Rightarrow VT\geq VP$

Dấu bằng khi và chỉ khi

{\begin{matrix} \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{5}{4}\\ \frac{4}{5}\leq x\leq \frac{4}{3} \\ 0\leq x\leq 2 \end{matrix}\right.

$\Leftrightarrow \frac{4}{5}\leq x\leq \frac{5}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FindMax: 05-04-2015 - 17:41

[Ngoc Hung]

    UBND tỉnh Bắc Ninh                                                          ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Sở GD & ĐT tỉnh Bắc Ninh                                                            NĂM HỌC: 2014 - 2015

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                      Môn thi: Toán - lớp 9

                                                                                                Ngày thi: 2 tháng 4 năm 2015

 

 

 

Câu 2: Cho phương trình $x^{2}-x-1=0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$

 

            a, Tính giá trị của biểu thức Q= $x^{5}_{1}+x^{5}_{2}$

            b, Cho $P(x)=\sqrt{x^{8}+12x+12}-3x$. Chứng minh rằng $P(x_{1})=P(x_{2})$

 

b) Ta có $x_{1}^{2}=x_{1}+1\Rightarrow x_{1}^{4}=x_{1}^{2}+2x_{1}+1=3x_{2}+2\Rightarrow x_{1}^{8}=9x_{1}^{2}+12x_{1}+4\Rightarrow P(x_{1})=\sqrt{9x_{1}^{2}+24x_{1}+16}-3x_{1}=\sqrt{\left ( 3x_{1}+4 \right )^{2}}-3x_{1}=(3x_{1}+4)-3x_{1}=4$

[Ngoc Hung]

Câu 4: c) Ta có $CD^{2}=AB^{2}=AE.AF\Rightarrow CD^{4}=AB^{4}=AE^{2}.AF^{2}=(EC.EB)(DF.BF)=(EC.DF)(EB.BF)=EC.DF.AB.EF\Rightarrow AB^{3}=EC.DF.EF\Rightarrow CD^{3}=EC.DF.EF$

Ta có $\frac{BE^{2}}{BF^{2}}=\frac{EA.EF}{FA.EF}=\frac{AE}{AF}\Rightarrow\frac{BE^{4}}{BF^{4}}=\frac{AE^{2}}{AF^{2}} =\frac{CE.BE}{DF.BF}\Rightarrow \frac{BE^{3}}{BF^{3}}=\frac{CE}{DF}$