Chủ đề này có 3 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $ab+bc+ca=abc+2$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

[hoctrocuaZel]

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $ab+bc+ca=abc+2$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

$(b-1)(c-1)\geqslant 0<=>b+c\leqslant bc+1;abc+2=bc+a(b+c)\leqslant bc+a(bc+1)\Rightarrow a+bc\geqslant 2;\sum a^2+abc-4\geqslant a^2+2bc+abc-4=(a+2)(a+bc-2)\geqslant 0$

[vda2000]

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $ab+bc+ca=abc+2$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

Theo nguyên lí Đi rích lê, tồn tại:

$(a-1)(b-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow ab+1\geq a+b$

$\Leftrightarrow abc+c\geq ac+bc$

$\Leftrightarrow ab+bc+ca-2+c\geq ac+bc$

$\Leftrightarrow ab\geq 2-c$

$\Leftrightarrow ab(2+c)\geq (2-c)(2+c)$

$\Leftrightarrow abc+2ab\geq 4-c^2$

Áp dụng C-S:

$\Leftrightarrow abc+a^2+b^2\geq 4-c^2$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+abc\geq 4$

[huuhieuht]

Sử dung schur bậc 3 cũng có đpcm