Chủ đề này có 1 trả lời

[Truong Gia Bao]

Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x+y=1 & \\ x^5+y^5=11& \end{matrix}\right.$

[hoanglong2k]

Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x+y=1 & \\ x^5+y^5=11& \end{matrix}\right.$

Ta có: $(x^2+y^2)(x^3+y^3)=x^5+y^5+x^2y^2(x+y)$

           $\Leftrightarrow \left [ (x+y)^2-2xy \right ].\left [ (x+y)^3-3xy(x+y) \right ]=x^5+y^5+x^2y^2(x+y)$

           $\Rightarrow (1-2xy)(1-3xy)=11+x^2y^2$

           $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} xy=2\\ xy=-1 \end{bmatrix}$

Với $xy=2$ thì $x,y$ là nghiệm của phương trình $X^2-X+2=0$ ( vô nghiệm )

Với $xy=-1$ thì $x,y$ là nghiệm của phương trình 

     $X^2-X-1=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} X=\frac{1+\sqrt5}{2}\\ X=\frac{1-\sqrt5}{2} \end{bmatrix}$

Vậy $(x,y)\in \left \{ \left ( \frac{1+\sqrt5}{2},\frac{1-\sqrt5}{2} \right ) ;\left ( \frac{1-\sqrt5}{2},\frac{1+\sqrt5}{2} \right )\right \}$