Chủ đề này có 2 trả lời

[duyanh782014]

Chứng minh rằng với mọi a,b,c là các số thực dương: 

$\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{3}+\left ( \frac{b+c}{2} \right )^{3}+\left ( \frac{c+a}{2} \right )^{3}\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 08-04-2015 - 18:58

[Chung Anh]

Chứng minh rằng với mọi a,b,c là các số thực dương: 

$\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{3}+\left ( \frac{b+c}{2} \right )^{3}+\left ( \frac{c+a}{2} \right )^{3}\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Ta có $x^3+y^3\geq \frac{(x+y)^3}{4}\Leftrightarrow (x-y)^2(x+y)\geq 0$

Áp dụng vào bài có $\left ( \frac{a+b}{2} \right )^3\leq \frac{a^3+b^3}{2} $

Lập các BĐT tương tự cộng lại có đpcm

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c$

[hoanglong2k]

Chứng minh rằng với mọi a,b,c là các số thực dương: 

$\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{3}+\left ( \frac{b+c}{2} \right )^{3}+\left ( \frac{c+a}{2} \right )^{3}\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Ta có: $Ine\Rightarrow 2\sum a^3\geq \sum ab(a+b)$

Mặt khác ta có: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\geq ab(a+b)$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại là có đpcm