Chủ đề này có 3 trả lời

[rainbow99]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $3xy+yz+2zx=6$

Tìm max $P=\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{4}{4+y^{2}}+\frac{9}{9+z^{2}}$

[vda2000]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $3xy+yz+2zx=6$

Tìm max $P=\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{4}{4+y^{2}}+\frac{9}{9+z^{2}}$

Đặt $x=a; y=2b; z=3c$ có từ gt: $6ab+6bc+6ac=6\Leftrightarrow ab+bc+ca=1$

Ta có: $P=\frac{1}{1+x^2}+\frac{4}{4+y^2}+\frac{9}{9+z^2}=\frac{1}{1+a^2}+\frac{4}{4+4b^2}+\frac{9}{9+9c^2}=\sum\frac{1}{1+a^2}$

Do đó, $P=\sum\frac{1}{ab+bc+ca+a^2}=\sum\frac{1}{(a+b)(a+c)}=\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2(a+b+c)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}$

Đặt $a+b+c=m; abc=n; ab+bc+ca=1$ nên:

$P=\frac{2m}{m-n}$

Xét $\frac{9}{4}-P=\frac{9}{4}-\frac{2m}{m-n}=\frac{9m-9n-8m}{m-n}=\frac{m-9n}{m-n}\geq 0$

Ta có: $a+b+c=m\geq\sqrt{3(ab+bc+ca)}=\sqrt{3}$

$ab+bc+ca=1\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}$ nên $n\leq\frac{\sqrt{3}}{9}$

Suy ra $m\geq 9n$ nên: $m-9n\geq 0$

Do đó, $max P=\frac{9}{4}$ tại $(x;y;z)=(\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{2}{\sqrt{3}};\frac{3}{\sqrt{3}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 08-04-2015 - 19:01

[rainbow99]

Đặt $x=a; y=2b; z=3c$ có từ gt: $6ab+6bc+6ac=6\Leftrightarrow ab+bc+ca=

Đặt $a+b+c=m; abc=n; ab+bc+ca=1$ nên:

$P=\frac{2m}{m-n}$

Xét $\frac{9}{4}-P=\frac{9}{4}-\frac{2m}{m-n}=\frac{9m-9n-8m}{m-n}=\frac{m-9n}{m-n}\geq 0$

Ta có: $a+b+c=m\geq\sqrt{3(ab+bc+ca)}=\sqrt{3}$

$ab+bc+ca=1\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}$ nên $n\leq\frac{\sqrt{3}}{9}$

Suy ra $m\geq 9n$ nên: $m-9n\geq 0$

Do đó, $max P=\frac{9}{4}$ tại $(x;y;z)=(\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{2}{\sqrt{3}};\frac{3}{\sqrt{3}})$

Mình thấy chỗ này ta chứng minh bđt phụ thì sẽ nhanh hơn

$8(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$$\Rightarrow P\leq \frac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 11-04-2015 - 19:48

[Math Hero]

Thi trường chưa?