Chủ đề này có 4 trả lời

[yeudiendanlamlam]

Giả sử $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ là các số thực dương sao cho $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=n$.Chứng minh với mọi số nguyên dương $k$ ta có bất đẳng thức $a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}\geq a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeudiendanlamlam: 08-04-2015 - 19:47

[dogsteven]

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev: $a_1^k+a_2^k+...+a_n^k\geqslant \dfrac{(a_1+a_2+...+a_n)VT}{n}=VT$

[nangcuong8e]

Giả sử $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ là các số thực dương sao cho $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=n$.Chứng minh với mọi số nguyên dương $k$ ta có bất đẳng thức $a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}\geq a_{1}^{k-1}+a_{2}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1}$

Ta có: Không mất tính tổng quát, giả sử $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq ... \geq a_n$, thì ta cũng có $a_1^{k-1} \geq a_2^{k-1} \geq ... \geq a_n^{k-1}$

 Áp dụng bất đẳng thức Chebyshez vào $(a_1;a_2;...;a_n)$ và $(a_1^{k-1};a_2^{k-1};...;a_n^{k-1})$,ta có:
$ a_1^k +a_2^k +... +a_n^k \geq \frac{1}{n}(a_1+a_2+...+a_n)(a_1^{k-1} +a_2^{k-1} +...+a_n^{k-1}) = a_1^{k-1} +a_2^{k-1} +...+a_n^{k-1}$ (do $a_1+a_2 +...+a_n =n$)

 Dấu $"="$ xảy ra khi $a_1 =a_2 =...= a_n =1$

[yeudiendanlamlam]

Ta có: Không mất tính tổng quát, giả sử $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq ... \geq a_n$, thì ta cũng có $a_1^{k-1} \geq a_2^{k-1} \geq ... \geq a_n^{k-1}$

 Áp dụng bất đẳng thức Chebyshez vào $(a_1;a_2;...;a_n)$ và $(a_1^{k-1};a_2^{k-1};...;a_n^{k-1})$,ta có:
$ a_1^k +a_2^k +... +a_n^k \geq \frac{1}{n}(a_1+a_2+...+a_n)(a_1^{k-1} +a_2^{k-1} +...+a_n^{k-1}) = a_1^{k-1} +a_2^{k-1} +...+a_n^{k-1}$ (do $a_1+a_2 +...+a_n =n$)

 Dấu $"="$ xảy ra khi $a_1 =a_2 =...= a_n =1$

cho hỏi bất đẳng thức $Chebyshez$ là sao vậy

[yeudiendanlamlam]

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev: $a_1^k+a_2^k+...+a_n^k\geqslant \dfrac{(a_1+a_2+...+a_n)VT}{n}=VT$

cho hỏi $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=n$ nghĩa là tổng chúng bằng $n$ hay có $n$ số $a$