Cho$a,b,c\geq 0, a+b+c= 1$. CMR: $\sqrt{a+(b-c)^{2}}+\sqrt{b+(c-a)^{2}}+\sqrt{c+(a-b)^{2}}\geq \sqrt{3}$
Chú ý: Cách gõ công thức Toán.
Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 09-04-2015 - 09:59
Chứng minh rằng $\sum \sqrt{a+(b-c)^{2}}\geq \sqrt{3}$
Bắt đầu bởi thanhtuk33tp2, 09-04-2015 - 09:08
#2
Đã gửi 09-04-2015 - 09:56
Ngoc Hung
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1547 Bài viết
Đại úy
Cho$a,b,c\geq 0, a+b+c= 1$. CMR: $\sqrt{a+(b-c)^{2}}+\sqrt{b+(c-a)^{2}}+\sqrt{c+(a-b)^{2}}\geq \sqrt{3}$
$3(ab+bc+ca)\leq \sum \sqrt{a^{2}+ab+ac+(b-c)^{2}}\sqrt{b^{2}+ba+bc+(c-a)^{2}}$
$= \sqrt{\sqrt{a(a+b+c)}^{2}+(b-c)^{2}}\sqrt{\sqrt{b(b+a+c)}^{2}+(c-a)^{2}}$ $\geq \left | (b-c)(c-a) \right |+\sqrt{ab}(a+b+c)$
bây giờ ta cần chưng minh: $\sum \left | (b-c)(c-a) \right |\geq 3(ab+bc+ca)-(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
và vì ta luôn có $\sum \left | (b-c)(c-a) \right |\geq (\sum a^{2})-ab-bc-ca$ (ĐPCM) $(\sum a^{2})+(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq 4(ab+bc+ca)$
có thể viết dưới dạng $\sum (x-y)^{2}xy+\sum x^{4}+xyz(x+y+z)\geq 2\sum x^{2}y^{2}$ (đúng, vì đây là BDt shur mở rộng )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 09-04-2015 - 09:56
- nguyenhongsonk612 và thanhtuk33tp2 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
