Chủ đề này có 3 trả lời

[hangyeutara]

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^4-2y^2=1$

[Ngoc Hung]

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^4-2y^2=1$

 

Từ phương trình ta có x phải là số lẻ. Đặt $x=2k+1\Rightarrow 4k(k+1)(2k^{2}+2k+1)=y^{2}$

Suy ra $k(k+1)(2k^{2}+2k+1)$ phải là số chính phương. Mà $\left ( k^{2} +k,2k^{2}+2k+1\right )=1$ vô lí

Vậy phương trình vô ngiệm

[LeHKhai]

giả sử $x,y\geq 0$ (do $x, y$ mũ chẵn)

dễ thấy $x$ lẻ $\Rightarrow x^4\equiv 1$ (mod 4) $\Rightarrow y^2$ chẵn $\Rightarrow y$ chẵn

đặt $x=2a+1, y=2b$ ($a,b\in \mathbb{N}$)

ta có $(4a^2+4a+1)^2-1=8b^2$

$\Leftrightarrow (4a^2+4a+2)(4a^2+4a)=8b^2$

$\Leftrightarrow (2a^2+2a+1)(a^2+a)=b^2$

với $a=0$ thì $x=1, y=0$
với $a\geq 1$ : đặt $a^2+a=n$ $\Rightarrow n(2n+1)=b^2$

mà $(n;2n+1)=1$ nên $n, 2n+1$ đều là số chính phương

ta lại có $a^2<a^2 + a < (a+1)^2$ nên $n=a^2 + a$ là số chính phương là vô lí

vậy nghiệm : $(1;0); (-1;0)$

[tonarinototoro]

Từ phương trình ta có x phải là số lẻ. Đặt $x=2k+1\Rightarrow 4k(k+1)(2k^{2}+2k+1)=y^{2}$

Suy ra $k(k+1)(2k^{2}+2k+1)$ phải là số chính phương. Mà $\left ( k^{2} +k,2k^{2}+2k+1\right )=1$ vô lí

Vậy phương trình vô ngiệm

tích của 2 số nguyên tố cùng nhau cũng có thể là 1 số chính phương. vd nhé (4,25)=1 nhưng 4.25=100 là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tonarinototoro: 10-04-2015 - 20:47