Chủ đề này có 17 trả lời

[longatk08]

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn $xyz=1$.Tìm Min:

$P=\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}$

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn $xyz=1$.Tìm Min:

$P=\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}$

Bài này dùng phương pháp dồn biến giải dễ dàng

[Phan Huy Hoang]

Ta có:

$P=\sum_{cyc} \frac{1}{1-x}-3\geq \frac{3}{1-(x+y+z)}-3\geq \frac{3}{1-3\sqrt[3]{xyz}}-3=-\frac{9}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phan Huy Hoang: 12-04-2015 - 15:37

[Hoang Nhat Tuan]

Ta có:

$P=\sum_{cyc} \frac{1}{1-x}-3\geq \frac{3}{1-(x+y+z)}-3\geq \frac{3}{1-3\sqrt[3]{xyz}}-3=-\frac{9}{2}$

Bạn giải mình thấy sai rồi, x,y,z là số thực dương thì P phải lớn hơn 0 chứ bạn

[arsfanfc]

Ta có:

$P=\sum_{cyc} \frac{1}{1-x}-3\geq \frac{3}{1-(x+y+z)}-3\geq \frac{3}{1-3\sqrt[3]{xyz}}-3=-\frac{9}{2}$

sai rồi bạn  chổ màu đỏ ????????????

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn $xyz=1$.Tìm Min

$P=\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}$

Cách giải của mình đây:

$f(x,y,z)=P$

Giả sử x= max (x,y,z), ta có:

$f(x,y,z)\geq f(x,\sqrt{yz},\sqrt{yz})$ ( tự chứng minh bằng cách giải tương đương)

Giờ ta cần chứng minh $f(x,t,t)\geq \frac{3}{2}$ ( ở đây $t=\sqrt{yz}$)

Do đó: $x=\frac{1}{t^{2}}$

Cần chứng minh $\frac{\frac{1}{t^{2}}}{\frac{1}{t^{2}}+1}+\frac{2t}{t+1}\geq \frac{3}{2}$

Dùng phép biến đổi tương đương là ra, bất đẳng thức cuối cùng là $(1-t)(t-1)^{2}\geq 0$ ( luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra tại x=y=z=1

[vda2000]

Cách giải của mình đây:

$f(x,y,z)=P$

Giả sử x= max (x,y,z), ta có:

$f(x,y,z)\geq f(x,\sqrt{yz},\sqrt{yz})$ ( tự chứng minh bằng cách giải tương đương)

Giờ ta cần chứng minh $f(x,t,t)\geq \frac{3}{2}$ ( ở đây $t=\sqrt{yz}$)

Do đó: $x=\frac{1}{t^{2}}$

Cần chứng minh $\frac{\frac{1}{t^{2}}}{\frac{1}{t^{2}}+1}+\frac{2t}{t+1}\geq \frac{3}{2}$

Dùng phép biến đổi tương đương là ra, bất đẳng thức cuối cùng là $(1-t)(t-1)^{2}\geq 0$ ( luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra tại x=y=z=1

Bạn xem lại đi, chỗ đó phân tích thành $(t-1)^3$ mà 

Link phân tích tại đây

[longatk08]

Theo tôi nghĩ Cauchy ngược dấu là nhanh hơn cả dùng đến dồn biến là chưa càn thiết!

[Hoang Nhat Tuan]

Có thể dùng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh BĐT này không nhỉ

[longatk08]

Có thể dùng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh BĐT này không nhỉ

Có thể dùng BĐT Jensen nhưng phải đổi biến

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn $xyz=1$.Tìm Min:

$P=\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}$

Tôi nghĩ ra cách này mọi người tham khảo nhé:

$P=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z}}$

Ta xét $\frac{1}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y}}\geq \frac{2}{1+\frac{1}{\sqrt{xy}}}$ 

Lại có: $\frac{1}{1+\frac{1}{z}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{xy}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{xy}}}\geq \frac{3}{1+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}}=\frac{3}{2}$

=> Điều phải chứng minh

Cách này sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc sau:

$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

$\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc}$

[tonarinototoro]

Tôi nghĩ ra cách này mọi người tham khảo nhé:

$P=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z}}$

Ta xét $\frac{1}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y}}\geq \frac{2}{1+\frac{1}{\sqrt{xy}}}$ 

Lại có: $\frac{1}{1+\frac{1}{z}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{xy}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{xy}}}\geq \frac{3}{1+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}}=\frac{3}{2}$

=> Điều phải chứng minh

Cách này sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc sau:

$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

$\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc}$

cho mình hỏi bạn dùng bđt j ở chỗ màu đỏ vậy. mình ko nghĩ là nó đúng (có thể kiểm chứng với x=1,y=4 thì bđt sai)

[Hoang Nhat Tuan]

cho mình hỏi bạn dùng bđt j ở chỗ màu đỏ vậy. mình ko nghĩ là nó đúng (có thể kiểm chứng với x=1,y=4 thì bđt sai)

Đúng rồi bạn, mình cũng đang mắc phần này, bởi vì sử dụng bất đẳng thức trên có cả điều kiện nữa, mình đưa lên để mọi người xem xét vậy thôi chứ đúng là sai thiệt

[tonarinototoro]

Đúng rồi bạn, mình cũng đang mắc phần này, bởi vì sử dụng bất đẳng thức trên có cả điều kiện nữa, mình đưa lên để mọi người xem xét vậy thôi chứ đúng là sai thiệt

mình cx từng đọc bđt này (ko đk) ở đâu đó nhưng mình ko tìm đc cách cm nên đã thử kiểm chứng lại thì thấy nó sai

(từ đấy về sau đọc bđt nào cx phải kiểm tra lại hết   )

[Hoang Nhat Tuan]

mình cx từng đọc bđt này (ko đk) ở đâu đó nhưng mình ko tìm đc cách cm nên đã thử kiểm chứng lại thì thấy nó sai

(từ đấy về sau đọc bđt nào cx phải kiểm tra lại hết   )

Có điều kiện của BĐT nữa bạn, theo mình nghĩ bài này có thể có liên quan đến bất đẳng thức sau:

$\frac{x}{(x+1)(y+1)}+\frac{y}{(y+1)(z+1)}+\frac{z}{(z+1)(x+1)}\geq \frac{3}{4}$

[hoanglong2k]

Tôi nghĩ ra cách này mọi người tham khảo nhé:

$P=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z}}$

Ta xét $\frac{1}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y}}\geq \frac{2}{1+\frac{1}{\sqrt{xy}}}$ 

Lại có: $\frac{1}{1+\frac{1}{z}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{xy}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{xy}}}\geq \frac{3}{1+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}}=\frac{3}{2}$

=> Điều phải chứng minh

Cách này sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc sau:

$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

$\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc}$

Nếu làm vậy thì áp dụng ngay luôn $\sum \frac{1}{1+\frac{1}{x}}\geq \frac{3}{1+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}}=\frac{3}{2}$

[Hoang Nhat Tuan]

Nếu làm vậy thì áp dụng ngay luôn $\sum \frac{1}{1+\frac{1}{x}}\geq \frac{3}{1+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}}=\frac{3}{2}$

Câu này có giá trị nhỏ nhất không phải là $\frac{3}{2}$ tại vì nếu min là $\frac{3}{2}$ thật thì $(1-x)(1-y)(1-z)\geq 0$, ta xét với x=4, y=z=0,5 thì ra min nhỏ hơn $\frac{3}{2}$

[tonarinototoro]

Nếu làm vậy thì áp dụng ngay luôn $\sum \frac{1}{1+\frac{1}{x}}\geq \frac{3}{1+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}}=\frac{3}{2}$

bđt này phải kèm đk chứ vs x=1\2,y=1\3,z=6 thì bđt sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tonarinototoro: 13-04-2015 - 17:20