Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\geq \sum \frac{a}{b+c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 15-04-2015 - 20:44
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\geq \sum \frac{a}{b+c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 15-04-2015 - 20:44
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\geq \sum \frac{a}{b+c}$
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz,ta có
$VP=\frac{a^{2}}{ab+ac}+\frac{b^{2}}{ab+bc}+\frac{c^{2}}{cb+ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)} (*)$
$VT=\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})} (**)$
Mà $\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}$ $(***)$
Từ $(*)(**)(***)$$\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}-[\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}]\leq 0\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}\leq\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}}\Rightarrow đpcm$
$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$
$\Leftrightarrow A+B+C\geq 0$ TRONG ĐÓ :
$A=ab(a-b)(\frac{1}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}-\frac{1}{(a+c)(a^{2}+c^{2})})$
$B=cb(b-c)(\frac{1}{(c+a)(c^{2}+a^{2})}-\frac{1}{(a+b)(a^{2}+b^{2})})$
$C=ac(a-c)(\frac{1}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}-\frac{1}{(a+b)(a^{2}+b^{2})})$
Dễ thấy ĐÚNG !!!!
P/s : Bài của bạn http://diendantoanho.../136813-votruc/sai nhé !!!!
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -Áp dụng bất đẳng thức Schwarz,ta có
$VP=\frac{a^{2}}{ab+ac}+\frac{b^{2}}{ab+bc}+\frac{c^{2}}{cb+ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)} (*)$
$VT=\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})} (**)$
Mà $\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}$ $(***)$
Từ $(*)(**)(***)$$\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}-[\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}]\leq 0\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}\leq\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}}\Rightarrow đpcm$
Bạn giải sai rồi
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
biến đổi tương đương
Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz,ta có
$VP=\frac{a^{2}}{ab+ac}+\frac{b^{2}}{ab+bc}+\frac{c^{2}}{cb+ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)} (*)$
$VT=\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})} (**)$
Mà $\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}$ $(***)$
Từ $(*)(**)(***)$$\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}-[\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}]\leq 0\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}\leq\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}}\Rightarrow đpcm$
Ngược dấu rồi...bài này biến đổi tương đương cho nhẹ
$VT-VP=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum_{cyc}\frac{bc(b-c)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)}\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh