Chủ đề này có 5 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$

 

[phamngochung9a]

Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$

Ta có $\frac{1}{1+a+b}=\frac{1}{\left ( \frac{1}{2}+a \right )+\left ( \frac{1}{2}+b \right )}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{\frac{1}{2}+a}+\frac{1}{\frac{1}{2}+b})=\frac{1}{2(2+a)}+\frac{1}{2(2+b)}$

Tương tự:$\frac{1}{1+b+c}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}); \frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{2+c}+\frac{1}{2+a})$

Cộng từng vế suy ra đpcm

[arsfanfc]

Ta có $\frac{1}{1+a+b}=\frac{1}{\left ( \frac{1}{2}+a \right )+\left ( \frac{1}{2}+b \right )}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{\frac{1}{2}+a}+\frac{1}{\frac{1}{2}+b})=\frac{1}{2(2+a)}+\frac{1}{2(2+b)}$

Tương tự:$\frac{1}{1+b+c}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}); \frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{2+c}+\frac{1}{2+a})$

Cộng từng vế suy ra đpcm

thế điều kiện $abc=1$ là thừa ak...          

[Hoang Nhat Tuan]

thế điều kiện $abc=1$ là thừa ak...          

Để có dấu bằng xảy ra hay sao ấy

[khanghaxuan]

Ta có $\frac{1}{1+a+b}=\frac{1}{\left ( \frac{1}{2}+a \right )+\left ( \frac{1}{2}+b \right )}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{\frac{1}{2}+a}+\frac{1}{\frac{1}{2}+b})=\frac{1}{2(2+a)}+\frac{1}{2(2+b)}$

Tương tự:$\frac{1}{1+b+c}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}); \frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{2+c}+\frac{1}{2+a})$

Cộng từng vế suy ra đpcm

Sai ngay chỗ đó !!!!!

[binhnhaukhong]

Đặt $x=a+b+c,y=ab+bc+ac$.Từ điều kiện dễ dàng có $x,y\geq 3$.

Bất đẳng thức đã cho viết lại dưới dạng:

$\frac{12+4x+y}{9+4x+2y}\geq \frac{3+4x+y+x^2}{2x+y+x^2+xy}$

$\Leftrightarrow 3x^2y+xy^2+6xy-5x^2-y^2-24x-3y-27\geq 0$

$\Leftrightarrow (\frac{5}{3}x^2y-5x^2)+(\frac{xy^2}{3}-y^2)+(\frac{xy^2}{3}-3y)+(\frac{4}{3}x^2y-12x)+(\frac{xy^3}{3}-3x)+(3xy-9x)+(3xy-27)\geq 0$

Điều này đúng với $x,y\geq 3$.