4 replies to this topic

[Nguyen Minh Hai]

Tìm hệ số $k$ tốt nhất để BĐT sau đúng với $a,b,c >0$

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+k.\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{3}{2}+k$

[hoctrocuaHolmes]

Tìm hệ số $k$ tốt nhất để BĐT sau đúng với $a,b,c >0$

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+k.\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{3}{2}+k$

không chắc

Bất đẳng thức $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ luôn đúng với mọi $a,b,c >0$

Như vậy cần tìm $k$ sao cho $k.\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq k$

Ta có$k.\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq k$

$\Leftrightarrow k.\frac{ab+bc+ca-a^{2}-b^{2}-c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}ab+bc+ca-a^{2}-b^{2}-c^{2}\geq 0;k\geq 0 & \\ ab+bc+ca-a^{2}-b^{2}-c^{2}\leq 0;k\leq 0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}ab+bc+ca\geq a^{2}+b^{2}+c^{2};k\geq 0\rightarrow vô lí & \\ ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2};k\leq 0 & \end{matrix}\right.$

Do đó hệ số $k$ phải thoả mãn $k\leq 0$

Edited by votruc, 20-04-2015 - 15:40.

[longatk08]

Bài toán này chắc bạn lấy trong Sáng tạo BĐT và bài này đã được trình bày khá rõ ràng(mong lần sau bạn kiếm được bài nào mới tí,ai cũng lấy trong sách ra nhàm lắm)

[Nguyen Minh Hai]

Bất đẳng thức $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ luôn đúng với mọi $a,b,c >0$

Như vậy cần tìm $k$ sao cho $k.\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq k$

Ta có$k.\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq k$

$\Leftrightarrow k.\frac{ab+bc+ca-a^{2}-b^{2}-c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}ab+bc+ca-a^{2}-b^{2}-c^{2}\geq 0;k\geq 0 & \\ ab+bc+ca-a^{2}-b^{2}-c^{2}\leq 0;k\leq 0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}ab+bc+ca\geq a^{2}+b^{2}+c^{2};k\geq 0\rightarrow vô lí & \\ ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2};k\leq 0 & \end{matrix}\right.$

Do đó hệ số $k$ phải thoả mãn $k\leq 0$

Cách giải có vấn đề rồi...  

[Nguyen Minh Hai]

Bài toán này chắc bạn lấy trong Sáng tạo BĐT và bài này đã được trình bày khá rõ ràng(mong lần sau bạn kiếm được bài nào mới tí,ai cũng lấy trong sách ra nhàm lắm)

Xin lỗi...nhưng thật tình bài này mình ko phải lấy trong sách sáng tạo..một sự ngẫu nhiên thôi