Chủ đề này có 2 trả lời

[dangthanhbn]

Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\geq 4(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$

 

Chú ý:   Cách gõ công thức Toán.

              Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 29-04-2015 - 17:25

[tunglamlqddb]

Chuẩn hóa: a+b+c=3, ta quy bài toán về chứng minh: 

$\sum \frac{1}{a}+3\geq 4\sum \frac{1}{a+b}$

hay: $\sum \frac{1}{a}+3\geq 4\sum \frac{1}{3-a}$

hay: $\sum \frac{5a-3}{a(3-a)}\leq 3$

hay: $\sum \frac{5a^{2}-9}{a(a-3)}\geq 6$

hay: $\sum 5(\frac{1}{1-\frac{3}{a}})+\sum 9(\frac{1}{3a-a^{2}})\geq 6$.

Đế đây, bạn dùng CS là ra.

[KietLW9]

Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\geq 4(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$

 

Chú ý:   Cách gõ công thức Toán.

              Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Chuẩn hóa $a+b+c=1$

Ta cần chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+9\geq 4(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$

$\Leftrightarrow \frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+12\geqslant 12+\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}$

Đây là một bất đẳng thức đúng do: $\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\geqslant \frac{4b}{c+a}$; $\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\geqslant \frac{4c}{a+b}$; $\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\geqslant \frac{4a}{b+c}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$