Chủ đề này có 3 trả lời

[Hoang Nhat Tuan]

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác và S là diện tích. Chứng minh: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4\sqrt{3}S$

( đề thi IMO 1961, khá dễ      )

[nhungvienkimcuong]

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác và S là diện tích. Chứng minh: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4\sqrt{3}S$

( đề thi IMO 1961, khá dễ      )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 02-05-2015 - 17:04

[Hoang Nhat Tuan]

Dùng công thức Heron ta có: $16S^{2}=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

Cần chứng minh $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3.16S^{2}$

Biến đổi tương đương là ra 

Bài này rất hay và có rất nhiều cách giải 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 02-05-2015 - 06:15

[Hoangtheson2611]

Áp dụng công thức Heron ta có : $4\sqrt{3}S=4\sqrt{3}\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{16}}=\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-6(a^{4}+b^{4}+c^{4})}$

=> $6(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geqslant 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} => VP \leqslant \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}} => VP \leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c