Chủ đề này có 28 trả lời

[Namthemaster1234]

Giải các phương trình sau với tập nghiệm nguyên.

 

7. $(x+1)^2+(x+2)^2+...+(x+99)^2=y^z$ với $z>1$, $x,y,z$ nguyên dương

 

8. $(x+1)^4-(x-1)^4=y^3$

 

9. $xy+\frac{x^3+y^3}{3}=8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 13-05-2015 - 18:31

[hoctrocuaHolmes]

Bổ sung cho phần BÀI TẬP TỔNG HỢP :

4. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:

31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t)

5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$x^6+3x^3+1=y^4$

6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình

$x^3=3^y+7$

6.Xét:$y=0$ thì tìm được $x=2$

$y=1$ thì $PT$ không có nghiệm nguyên 

$y>1$ thì $3^{y}+1\equiv 7(mod 9)$ do đó để $PT$ có nghiệm nguyên thì $x^{3}\equiv 7(mod9)(VL)\rightarrow$ $PT$ vô nghiệm

Vậy $PT$ có tập nghiệm là $(x;y)=(2;0)$

[Namthemaster1234]

Giải phương trình với tập nghiệm nguyên

 

10. $(x+y)^2+3x+3y+1=z^2$

 

Làm xong post tiếp

[hoctrocuaHolmes]

Bổ sung cho phần BÀI TẬP TỔNG HỢP :

5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$x^6+3x^3+1=y^4$

6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình

$x^3=3^y+7$

5.Xét $x=0$ ta có $y=1$ hoặc $y=-1$

Xét $x>0$ có $x^6 + 2x^3 + 1 < x^6 + 3x^3 + 1 < x^6 + 4x^3 + 4$ (do $x>0$ nên $x^3>0$) hay $(x^3+1)^2 < y^4 < (x^3+2)^2$ (vô lí do $y\epsilon \mathbb{Z}$)

Xét $x<0$ 

+Với $x=-1$ thì $PT$ vô nghiệm

+Với $x\leq -2$ thì $x^6 + 2x^3 + 1 > x^6 + 3x^3 + 1 > x^6 + 4x^3$  hay $(x^3+1)^2 > y^4 > (x^3+2)^2$ (vô lí do $y\epsilon \mathbb{Z}$)

Vậy nghiệm nguyên của $PT$ là $(x;y)\epsilon \left \{ (0;1) ;(0;-1)\right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 13-05-2015 - 18:45

[ducvipdh12]

Giải phương trình với tập nghiệm nguyên

 

10. $(x+y)^2+3x+3y+1=z^2$

 

Làm xong post tiếp

Làm bài này,còn các bài khác nhẹ nhàng để cho các bạn khác làm

Đặt $A=x+y$

$A=0,z=1Vz=-1$ thỏa mãn 

a/Xét $A>0$ thì 

$(A+1)^2<A^2+3A+1=z^2<(A+2)^2$ vô lý

b/ $A\leq -2$ chứng minh tương tự TH a 

c/ $A=-1$ thì $z^2=-1$ vô lý.

Vậy...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 13-05-2015 - 21:10

[nangcuong8e]

Giải các phương trình sau với tập nghiệm nguyên.

 

8. $(x+1)^4-(x-1)^4=y^3$

 

Ta có: $(x+1)^4-(x-1)^4=y^3 \Leftrightarrow 8x^3 +8x =y^3$

 +, Xét $x=0$, thì $0=y^3 \Leftrightarrow y =0$

 +, Xét $x >0$, ta dễ dàng chứng minh được $(2x)^3<y^3<(2x+1)^3$, do đó không tồn tại $y$, loại trường hợp này.

 +, Xét $x<0$, ta cũng chứng minh được $(2x-1)^3<y^3<(2x)^3$, loại luôn trường hợp này.

Vậy: Phương trình có nghiệm nguyên $(x;y) =(0;0)$

[nangcuong8e]

Giải các phương trình sau với tập nghiệm nguyên.

 

9. $xy+\frac{x^3+y^3}{3}=8$

Ta có: $xy +\frac{x^3+y^3}{3} =8 \Leftrightarrow 3xy +(x+y)^3 -3xy(x+y) =24 \Leftrightarrow (x+y)^3 -24 =3xy(x+y-1)$

 Đặt $x+y =S$ và $xy=P (S,P \in Z)$, thay vào ta có: $S^3 -24 =3P(S-1)$

+, Xét $S=1$, phương trình trở thành $-23 =0$ (vô lí)

Do đó $S$ không bằng $1$, do đó phương trình tương đương với $3P =\frac{S^3-24}{S-1} =S^2 +S+1 +\frac{-23}{S-1}$

 Vì $P \in Z$ nên $23 \vdots S-1\Leftrightarrow S-1 \in$ {$-23;-1;1;23$} hay $S \in$ {$-22;0;2;24$}

+, Với $S=-22$ thì $3P =473$ (vô lí vì $P\in Z$)

+, Với $S=0$ thì $3P =24 \Leftrightarrow P =8$, đến đây không tìm đc $x,y$ nên loại trường hợp này

+, Với $S=2$ thì $3P =-16$ (vô lí)

+, Với $S=24$ thì $3P =578$ (vô lí)

 Vậy: Phương trình không có nghiệm nguyên.

 

Tiện thể up cho topic 1 bài.

11, Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3 +11x -4.6^y -12y =26$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 13-05-2015 - 23:45

[AnhNgoc030201]

11, Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3 +11x -4.6^y -12y =26$
 

 

Bài này dùng đồng dư.

 

Từ phương trình ta nhận được: $x(x^3+11)\equiv 2 (mod 4)$ $(1)$ và $x>0$

 

Xét $x>2$ . $+)$ Nếu $x$ chia hết cho 4 thì không thỏa mãn (1)

                 

                   $+)$ Nếu $x$ không chia hết cho 4 thì $x^2\equiv 1(mod 4)\Rightarrow x^2+11\equiv 0 (mod 4)$ cũng không thỏa (1)

 

Vậy $(2,0)$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhNgoc030201: 14-05-2015 - 17:01

[AnhNgoc030201]

Mình góp 2 bài nghiệm nguyên sau:

 

12. $(x^2-y^2) ^2=16y+1$ ( nghiệm nguyên dương)

 

13. $x^2+y^2=z^5+z$ ( Chứng minh phương trình này có vô số nghiệm )