Bài toán. Cho $x$ và $y$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện $x^{3}+y^{3}-xy=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $P=x^{2}+y^{2}+xy$.
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P=x^{2}+y^{2}+xy$
Bắt đầu bởi L Lawliet, 10-05-2015 - 12:37
#1
Đã gửi 10-05-2015 - 12:37
L Lawliet
-
- Thành viên
-
- 1624 Bài viết
Tiểu Linh
#2
Đã gửi 10-05-2015 - 14:51
hoctrocuaZel
-
- Thành viên
-
- 1162 Bài viết
Thượng úy
Bài toán. Cho $x$ và $y$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện $x^{3}+y^{3}-xy=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $P=x^{2}+y^{2}+xy$.
Giá trị lớn nhất:
$gt\Rightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)-xy=1\Leftrightarrow a^3-3ab-b=1\Rightarrow b=\frac{a^3-1}{3a+1}\leqslant \frac{a^2}{4}\Rightarrow a\leqslant 2;P=LHS=a^2-\frac{a^3-1}{3a+1}\leqslant 3\Leftrightarrow 2a^3+a^2-9a-2\leqslant 0\Rightarrow \boldsymbol{True:a\leqslant 2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuaZel: 10-05-2015 - 16:53
- congdaoduy9a yêu thích
Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#3
Đã gửi 10-05-2015 - 15:22
hoanglong2k
-
- Điều hành viên THCS
-
- 965 Bài viết
Trung úy
Giá trị lớn nhất:
$gt\Rightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)-xy=1\Leftrightarrow a^3-3ab-b=1\Rightarrow b=\frac{a^3-1}{3a+1}\leqslant \frac{a^2}{4}\Rightarrow a\leqslant 2;P=LHS=a^2-\frac{a^3-1}{3a+1}\leqslant 2\Leftrightarrow 2a^3+a^2-9a-2\leqslant 0\Rightarrow \boldsymbol{True:a\leqslant 2}$
Max tìm ngắn thôi :3
Ta có $xy+2=x^3+y^3+1\geq 3xy\Rightarrow xy\leq 1 \Rightarrow P\leq \frac{2(x^3+y^3)+2}{3}+xy=\frac{2(1+xy)+2}{3}+xy\leq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 10-05-2015 - 15:23
- nangcuong8e, hoctrocuaHolmes, the man và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 10-05-2015 - 16:04
L Lawliet
-
- Thành viên
-
- 1624 Bài viết
Tiểu Linh
$P\leq \frac{2(x^3+y^3)+2}{3}+xy=\frac{2(1+xy)+2}{3}+xy\leq 3$
Đoạn này đánh giá như thế nào vậy bạn o.O
Thích ngủ.
#5
Đã gửi 10-05-2015 - 16:13
hoanglong2k
-
- Điều hành viên THCS
-
- 965 Bài viết
Trung úy
Đoạn này đánh giá như thế nào vậy bạn o.O
Ta có : $x^3+x^3+1\geq 3x^2\Rightarrow 2(x^3+y^3)+2\geq 3(x^2+y^2)\Rightarrow x^2+y^2\leq \frac{2(x^3+y^3)+2}{3}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
