Chủ đề này có 12 trả lời

[quynhquynh]

Cho a, b > 0. Tìm GTNN của biểu thức $P= \frac{a^{2}+3ab+b^{2}}{\sqrt{ab}.\left ( a+b \right )}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 12-05-2015 - 02:04

[vda2000]

 

Cho a,b>0. Tìm GTNN của biểu thức: 

\[P= \frac{a^{2}+3ab+b^{2}}{\sqrt{ab}.\left ( a+b \right )}\]

 

Đặt $a+b=x; \sqrt{ab}=y$

Ta có: $P=\frac{x^2+y^2}{xy}$

Ta có: $x\geq 2y$ nên xét:

$2P-5=\frac{2x^2-5xy+2y^2}{xy}=\frac{(x-2y)(2x-y)}{xy}\geq 0$ 

$Min P=\frac{5}{2}$ $\Leftrightarrow a=b$

[ducvipdh12]

Ta có: $P=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=4\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geq 5\sqrt[5]{\frac{(a+b)^3}{4^4(\sqrt{ab})^3}}\geq 5\sqrt[5]{\frac{2^3}{4^4}}=\frac{5}{2}$

[hoctrocuaZel]

 

Cho a,b>0. Tìm GTNN của biểu thức: 

\[P= \frac{a^{2}+3ab+b^{2}}{\sqrt{ab}.\left ( a+b \right )}\]

 

$P=LHS\geqslant \frac{5}{2}\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+6ab\geqslant 5\sqrt{ab}(a+b);4ab+(a+b)^2\geqslant 4\sqrt{ab}(a+b);(a^2+b^2)\geqslant \sqrt{ab}(a+b)$

[hoanglong2k]

 

Cho a,b>0. Tìm GTNN của biểu thức: 

\[P= \frac{a^{2}+3ab+b^{2}}{\sqrt{ab}.\left ( a+b \right )}\]

 

 $P=\frac{\frac{1}{4}.(a+b)^2+ab+\frac{3}{4}.(a+b)(a+b)}{\sqrt{ab}(a+b)}\geq \frac{\sqrt{ab}(a+b)+\frac{3}{2}.\sqrt{ab}(a+b)}{\sqrt{ab}(a+b)}=\frac{5}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 10-05-2015 - 21:05

[quynhquynh]

Ta có: $P=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=4\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geq 5\sqrt[5]{\frac{(a+b)^3}{4^4(\sqrt{ab})^3}}\geq 5\sqrt[5]{\frac{2^3}{4^4}}=\frac{5}{2}$

áp dụng BĐT gì vậy bạn

[quynhquynh]

Đặt $a+b=x; \sqrt{ab}=y$

Ta có: $P=\frac{x^2+y^2}{xy}$

Ta có: $x\geq 2y$ nên xét:

$2P-5=\frac{2x^2-5xy+2y^2}{xy}=\frac{(x-2y)(2x-y)}{xy}\geq 0$ 

$Min P=\frac{5}{2}$ $\Leftrightarrow a=b$

bạn giải thích chỗ xét giúp mìh với

[vda2000]

bạn giải thích chỗ xét giúp mìh với

$x\geq 2y$ nên $x-2y\geq 0$ và $2x\geq 4y>y$, suy ra: $2x-y>0$ (do $y>0$)

Do đó, $(x-2y)(2x-y)\geq 0$

[quynhquynh]

Vậy còn chỗ 2P-5 là sao bạn

[quynhquynh]

vda2000 giải thích giup mìh vs

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quynhquynh: 10-05-2015 - 21:45

[Dinh Xuan Hung]

 

Cho a,b>0. Tìm GTNN của biểu thức: 

\[P= \frac{a^{2}+3ab+b^{2}}{\sqrt{ab}.\left ( a+b \right )}\]

 

$P= \frac{a^{2}+3ab+b^{2}}{\sqrt{ab}.\left ( a+b \right )}=\frac{(a+b)^2+ab}{\sqrt{ab}.\left ( a+b \right )}=\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{3(a+b)}{4\sqrt{ab}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3(a+b)}{2.(a+b)}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

[vda2000]

Vậy còn chỗ 2P-5 là sao bạn

nhần $2$ vào $P$ rồi quy đồng thôi, có gì đâu

[ducvipdh12]

áp dụng BĐT gì vậy bạn

BĐT cosi đó em