Chủ đề này có 4 trả lời

[chieckhantiennu]

Cho $a,b,c>0; a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh:

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq a+b+c$

[Augustin Louis Cauchy III]

Ta có : $(\sum \frac{a}{\sqrt{b}})^{2}(\sum ab)\geq (\sum a)^{3}$

           $\Leftrightarrow (\sum \frac{a}{\sqrt{b}})^{2}\geq \frac{(\sum a)^{3}}{\sum ab}$

Ta cần chứng minh : $\frac{(\sum a)^{3}}{\sum ab}\geq (\sum a)^{2} (*)$

Thật vậy $(*)$ luôn đúng do : $(\sum a)^{2}\geq 3\sum ab\geq \sum a . \sum ab\Rightarrow \sum a\geq \sum ab$ nên ta có ĐPCM  

[chieckhantiennu]

Ta có : $(\sum \frac{a}{\sqrt{b}})^{2}(\sum ab)\geq (\sum a)^{3}$

           $\Leftrightarrow (\sum \frac{a}{\sqrt{b}})^{2}\geq \frac{(\sum a)^{3}}{\sum ab}$

Ta cần chứng minh : $\frac{(\sum a)^{3}}{\sum ab}\geq (\sum a)^{2} (*)$

Thật vậy $(*)$ luôn đúng do : $(\sum a)^{2}\geq 3\sum ab\geq \sum a . \sum ab\Rightarrow \sum a\geq \sum ab$ nên ta có ĐPCM

sao lại có $$3\sum ab\geq \sum a . \sum ab$$ thế bạn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 12-05-2015 - 21:30

[the man]

Cho $a,b,c>0; a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh:

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq a+b+c$

Áp dụng Cauchy

 $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+ab\geq 3a$

Tương tự với các biểu thức còn lại ta có 

$ 2(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}})+ab+bc+ca\geq 3(a+b+c)$

$\Rightarrow 2(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}})\geq 3(a+b+c)-(ab+bc+ca)$

Ta cần c/m : 

  $3(a+b+c)-(ab+bc+ca)\geq 2(a+b+c)$

  $\Leftrightarrow 2(a+b+c)\geq 2(ab+bc+ca)$

  $\Leftrightarrow 2t\geq t^2-3\Leftrightarrow (t-3)(t+1)\leq 0$   (Với $t=a+b+c$)

(Luôn đúng do $t^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)=9\Leftrightarrow 0<t \leq 3$)

[KietLW9]

Cho $a,b,c>0; a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh:

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq a+b+c$

Từ giả thiết suy ra $a+b+c\leqslant 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}=\frac{a^2}{\sqrt{a}.\sqrt{ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{b}.\sqrt{bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{c}.\sqrt{ca}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a}.\sqrt{ab}+\sqrt{b}.\sqrt{bc}+\sqrt{c}.\sqrt{ca}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c).\frac{(a+b+c)^2}{3}}}=\sqrt{3(a+b+c)}\geqslant \sqrt{(a+b+c)^2}=a+b+c$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$