Chủ đề này có 501 trả lời

[Pham Quoc Thang]

Bài 56:Do $a,b,c>0$ nên $c>a,c>b;(\frac{a}{c})^3+(\frac{b}{c})^3=1$
Đặt:$x=\frac{a}{c};y=\frac{b}{c} (0<x,y<1);x^3+y^3=1$
Dễ dàng chứng minh được:$1<x+y \leq \sqrt[3]{4} $
Đặt:$z=x+y \Rightarrow xy=\frac{z^3-1}{3z};x^2+y^2=\frac{z^3+2}{3z}$
Cần chứng minh:$a^2+b^2-c^2>6(a-c)(b-c) \Leftrightarrow x^2+y^2-1>6(x-1)(y-1) \Leftrightarrow \frac{z+2}{z-1} >6$
Xét hàm $f(z)=\frac{z+2}{z-1};z \in (1;\sqrt[3]{4}]$
Ta dễ dàng chứng minh $f(z)$ nghịch biến $\Rightarrow f(z) \geq f(\sqrt[3]{4}) >6 $

Em hơi khùng,khỏi xét hàm :v chứng minh trực tiếp cũng ra mà

[nhungvienkimcuong]

Bài 57:(Áo 1971)

$a,b,c$ là các số dương thỏa $a\leq b\leq c$ và $x,y,z$ là các số thực dương tùy ý.Chứng minh rằng

$\frac{(a+c)^2}{4ac}(x+y+z)^2\geq (ax+by+cz)\left ( \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} \right )$

 

Bài 58:(Iran 2010)

Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa $xy+yz+zx=1$.Chứng minh rằng

$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+3\geq (x+y+z)^2+\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 26-05-2015 - 20:58

[tonarinototoro]

Lời giải bài 57

BĐT$\Leftrightarrow 4\left ( ax+by+cz \right )\left ( \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z} \right )ac\leq \left [ \left ( a+c \right )\left ( x+y+z \right ) \right ]^{2}$(*)

Theo AM-GM : VT(*)$\leq \left [ \left ( ax+by+cz \right )+ac\left ( \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z} \right ) \right ]^{2}$

Cần chứng minh $ax+by+cz+ac\left ( \frac{a}{x} +\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right )\leq \left ( a+c \right )\left ( x+y+z \right )$

                            $\Leftrightarrow by+\frac{ac}{b}y\leq ay+cy\Leftrightarrow \frac{y\left ( a-b \right )\left ( c-b \right )}{b}\leq 0$ đúng theo giả thiết đã cho

Vậy BĐT cần chứng minh đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 27-05-2015 - 07:51

[binhnhaukhong]

 

Bài 58:(Iran 2010)

Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa $xy+yz+zx=1$.Chứng minh rằng

$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+3\geq (x+y+z)^2+\sqrt{3}$

Bài cuối cùng (chuẩn bị off 1 thời gian):

 

1 bổ đề rất đáng chú ý của anh Cẩn:

 

Với $x,y,z>0$ thì BĐT sau là đúng:

 

$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq \frac{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)}{xy+yz+xz}$

 

Áp dụng bổ đề trên với $xy+yz+xz=1$ ta đặt $p=x+y+z$ thì ta cần chứng minh:

$p(p^2-2)+3\geq p^2+\sqrt{3}$

 

BĐT trên đúng do $p\geq \sqrt{3}$

 

Mình cũng xin mở rộng thêm là dùng bổ đề trên ta còn chứng minh được bài toán sau đây:

 

Với $x,y,z>0$ và $xy+yz+xz=1$ thì ta có BĐT sau là đúng:

$\sum \frac{x^2}{y}-2(x^2+y^2+z^2)\geq \sqrt{3}-2$

 

(Ngoài ra bài toán trên còn có thể chứng minh bằng S.O.S)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 26-05-2015 - 21:09

[Bui Ba Anh]

Bài 59:(PP điểm rơi trong AM-GM)(VNTST 2001)

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $2x+4y+7z=2xyz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=x+y+z$

 

p/s: trình bày luôn cách tìm điểm rơi nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 27-05-2015 - 19:43

[longatk08]

Bài 59:(PP điểm rơi trong AM-GM)

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $2x+4y+7z=2xyz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=x+y+z$

 

p/s: trình bày luôn cách tìm điểm rơi nhé!

Mình nghĩ nếu dùng đạo hàm khử dần biến số thì có cần trình bày điểm rơi không.

 

@Anh:Không nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 27-05-2015 - 16:50

[khanghaxuan]

Lời giải bài 59 : Ta thấy điều kiện là $2x+4y+7z=2xyz$ nên ta dự đoán thế này : $(x+y+z)^{2}(2x+4y+7z)\geq kxyz$

Gọi $a,b,c$ lần lượt là điểm rơi của $x,y,z$ nên ta có : 

$x+y+z\geq (a+b+c)\sum (\frac{x}{a})^{\frac{a}{a+b+c}}$

$2x+4y+7z\geq (2a+4b+7c)((\frac{x}{a})^{\frac{2a}{2a+4b+7c}}+(\frac{y}{b})^{\frac{4b}{2a+4b+7c}}+(\frac{z}{c})^{\frac{7c}{2a+4b+7c}})$

Do đó : ta chỉ cần tìm $a,b,c$ thỏa : $\left\{\begin{matrix} \frac{a}{a+b+c}+\frac{2a}{2a+4b+7c}=1 & & \\ \frac{b}{a+b+c}+\frac{4b}{2a+4b+7c}=1 & & \\ \frac{c}{a+b+c}+\frac{7c}{2a+4b+7c}=1 & & \end{matrix}\right.$

Tiếp đến tìm $a,b,c$ rồi thế vào là xong

 

P/s : Đây là bài VN 2001

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 27-05-2015 - 17:31

[Pham Quoc Thang]

Bài 59:(PP điểm rơi trong AM-GM)

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $2x+4y+7z=2xyz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=x+y+z$

 

p/s: trình bày luôn cách tìm điểm rơi nhé!

Bài này có bà con họ hàng với bài VNTST 2001
Ta dự đoán dấu "=" sẽ xảy ra khi $x=\alpha y=\beta z$
BĐT Cauchy suy rộng:$\alpha_1 a_1+...+\alpha_n a_n \geq (\alpha_1+...+\alpha_n)[(a_1)^{\alpha_1}...(a_n)^{\alpha_n}]^{\frac{1}{\alpha_1+...+\alpha_n}} $
Sử dụng Cauchy suy rộng:$2xyz=2x+4y+7z=2x+\frac{4}{\alpha}.y\alpha+\frac{7}{\beta}.z\beta \geq (2+\frac{4}{\alpha}+\frac{7}{\beta})[x^2.(y\alpha)^{\frac{4}{\alpha}}.(z\beta)^{\frac{7}{\beta}}]^{\frac{1}{2+\frac{4}{\alpha}+\frac{7}{\beta}}}$
$\Rightarrow xyz \geq (1+\frac{2}{\alpha}+\frac{7}{2\beta})x^{\frac{2}{2+\frac{4}{\alpha}+\frac{7}{\beta}}}.(y\alpha)^{\frac{\frac{4}{\alpha}}{2+\frac{4}{\alpha}+\frac{7}{\beta}}}.(z\beta)^{\frac{\frac{7}{\beta}}{2+\frac{4}{\alpha}+\frac{7}{\beta}}}$ 
$\Rightarrow x^{\frac{\frac{4}{\alpha}+\frac{7}{\beta}}{2+\frac{4}{\alpha}+\frac{7}{\beta}}}.y^{\frac{2+\frac{7}{\beta}}{2+\frac{4}{\alpha}+\frac{7}{\beta}}}.z^{\frac{2+\frac{4}{\alpha}}{2+\frac{4}{\alpha}+\frac{7}{\beta}}} \geq (1+\frac{2}{\alpha}+\frac{7}{2\beta})(\alpha)^{\frac{\frac{4}{\alpha}}{2+\frac{4}{\alpha}+\frac{7}{\beta}}}.(\beta)^{\frac{\frac{7}{\beta}}{2+\frac{4}{\alpha}+\frac{7}{\beta}}}$

Ta có:

$P=x+y+z=1.x+\frac{1}{\alpha}.(y\alpha)+\frac{1}{\beta}.(z\beta) \geq (1+\frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta}).x^{\frac{1}{1+\frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta}}}.(y\alpha)^{\frac{\frac{1}{\alpha}}{1+\frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta}}}.(z\beta)^{\frac{\frac{1}{\beta}}{1+\frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta}}}$
Cần chọn $\alpha , \beta $ sao cho $1:\frac{1}{\alpha}:\frac{1}{\beta} =(\frac{4}{\alpha}+\frac{7}{\beta}) : (\frac{7}{\beta}+2) : (\frac{4}{\alpha}+2) $
Có thể tính được $\alpha=\frac{6}{5};\beta=\frac{3}{2} $
Đến đây thì dễ rồi

 

@Anh: dạ hơn cả bà con, là đề VNTST 2001 ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 27-05-2015 - 19:42

[Pham Quoc Thang]

Lời giải bài 59 : Ta thấy điều kiện là $2x+4y+7z=xyz$ nên ta dự đoán thế này : $(x+y+z)^{2}(2x+4y+7z)\geq kxyz$

Gọi $a,b,c$ lần lượt là điểm rơi của $x,y,z$ nên ta có : 

$x+y+z\geq (a+b+c)\sum (\frac{x}{a})^{\frac{a}{a+b+c}}$

$2x+4y+7z\geq (2a+4b+7c)((\frac{x}{a})^{\frac{2a}{2a+4b+7c}}+(\frac{y}{b})^{\frac{4b}{2a+4b+7c}}+(\frac{z}{c})^{\frac{7c}{2a+4b+7c}})$

Do đó : ta chỉ cần tìm $a,b,c$ thỏa : $\left\{\begin{matrix} \frac{a}{a+b+c}+\frac{2a}{2a+4b+7c}=1 & & \\ \frac{b}{a+b+c}+\frac{4b}{2a+4b+7c}=1 & & \\ \frac{c}{a+b+c}+\frac{7c}{2a+4b+7c}=1 & & \end{matrix}\right.$

Tiếp đến tìm $a,b,c$ rồi thế vào là xong

 

P/s : Đây là bài VN 2001

$2x+4y+7z=2xyz$ mới đúng đề bạn ơi

[Pham Quoc Thang]

Mình nghĩ nếu dùng đạo hàm khử dần biến số thì có cần trình bày điểm rơi không.

 

@Anh:Không nhé

ý bạn là bạn xét hàm độc lập từng biến à?

[Pham Quoc Thang]

Bài 59:(PP điểm rơi trong AM-GM)

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $2x+4y+7z=2xyz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=x+y+z$

 

p/s: trình bày luôn cách tìm điểm rơi nhé!

Cách 2:Ta có:$z(2xy-7)=2x+4y \Rightarrow xy > \frac{7}{2}$ (do $2x+4y>0$) $\Rightarrow z=\frac{2x+4y}{2xy-7}$
$\Rightarrow P \geq x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}=(x+\frac{11}{2x})+(\frac{2xy-7}{2x})+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7} \geq x+\frac{11}{2x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}$
Đến đây ta chỉ cần khảo sát hàm $f(x)=x+\frac{11}{2x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}} ;x>0$
$\Rightarrow Minf(x)=MinP=\frac{15}{2}$ Dấu "=" xảy ra khi $x=3;y=\frac{5}{2};z=2$

[congdaoduy9a]

Em xin đóng góp vài bài 

Bài 60:(Hồng Kông 2005) Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn $a+b+c+d=1$.CMR: $6(a^3+b^3+c^3+d^3)\geq a^2+b^2+c^2+d^2+\frac{1}{8}$

Bài 61:(Mỹ 2003) Cho các số thực dương a,b,c .CMR:

$\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\leq 8$

Bài 62:(Balan 1996 và Olympic 30-4 1999)

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$.CMR:$

$\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^{2}}\leq \frac{9}{10}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 27-05-2015 - 19:48

[Pham Quoc Thang]

Em xin đóng góp vài bài 

Bài 60:(Hồng Kông 2005) Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn $a+b+c+d=1$.CMR: $6(a^3+b^3+c^3+d^3)\geq a^2+b^2+c^2+d^2+\frac{1}{8}$

Bài 61:(Mỹ 2003) Cho các số thực dương a,b,c .CMR:

$\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\leq 8$

Bài 62:(Balan 1996 và Olympic 30-4 1999)

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$.CMR:$

$\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^{2}}\leq \frac{9}{10}$

Dùng pp tiếp tuyến hoặc UCT,riêng bài 62 ta xét 2 trường hợp.Trường hợp 1 khi $min{a;b;c} \geq -\frac{3}{4}$ thì dùng pp tiếp tuyến hoặc UCT,trường hợp còn lại là $min{a;b;c} < -\frac{3}{4}$

 

@khanghaxuan : Bạn nên trình bày ra nhé Sơ sơ cũng được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 27-05-2015 - 20:14

[khanghaxuan]

Lời giải bài 60 : 

Chìa khóa của bài toán nằm ở bđt sau : $6a^{3}-a^{2}\geq \frac{5}{8}a-\frac{1}{8}(*)$

Thật vậy , $(*)\Leftrightarrow (a-\frac{1}{4})^{2}(a+\frac{1}{3})\geq 0$ (luôn đúng )

Lập các bđt tương tự rồi cộng lại ta được ĐPCM

 

Lời giải bài 61 :

Để ý bđt sau :  $\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\leq \frac{4}{3}.(\frac{4a+b+c}{a+b+c})(*)$

Thật vậy $(*)\Leftrightarrow (2a-b-c)^{2}(5a+b+c)\geq 0$ (luôn đúng  )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 27-05-2015 - 20:13

[tonarinototoro]

Bài 61:(Mỹ 2003) Cho các số thực dương a,b,c .CMR:

$\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\leq 8$

chuẩn hóa $a+b+c=3$ => đưa về cm $\sum \frac{\left ( a+3 \right )^{2}}{2a^{2}+\left ( 3-a \right )^{2}}\leq 8\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( a+3 \right )^{2}}{a^{2}-2a+3}\leq 24$

cm $\frac{\left ( a+3 \right )^{2}}{a^{2}-2a+3}\leq4a+4\Leftrightarrow \frac{-\left ( a-1 \right )^{2}\left (4 a+3 \right )^{2}}{a^{2}-2a+3}\leq0$ luôn đúng

tương tự vs b,c =>...

[Pham Quoc Thang]

Bài 62:
Trường hợp 1:$min{\{a,b,c}\} \geq -\frac{3}{4} \Rightarrow a,b,c \geq -\frac{3}{4}$
Ta cần chứng minh $\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{36a+3}{50}$ (do xài pp tiếp tuyến nên biết cần cm cái này)
$ \Leftrightarrow \frac{(4a+3)(3a-1)^2}{50(a^2+1)} \geq 0 $
Tương tự ta được: $ \sum\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{9}{10}$
Trường hợp 2:$min{\{a,b,c}\} < -\frac{3}{4} $
Giả sử $ c=min{\{a,b,c}\} \Rightarrow c<\frac{3}{4} $
Nếu $ a \geq 0 , b \leq 0 $ thì  $\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} <0$ và $\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{1}{2}$ nên $VT < \frac{1}{2} < \frac{9}{10}$
Tương tự với $a \leq 0;b \geq 0$
Nếu $a \leq 0;b \leq 0$ thì $VT<0 < \frac{9}{10} $
Nếu $a \geq 0;b \geq 0$ thì ta có:

1. Nếu $a \in [0;\frac{1}{2}] \cup [2;+\infty)$ thì $ \frac{a}{a^2+1} \leq \frac{2}{5} $.Kết hợp với $\frac{b}{b^2+1} \leq \frac{1}{2} ; \frac{c}{c^2+1} <0$ ta được $VT < \frac{9}{10}$
2. Nếu $a \in [\frac{1}{2};2] $.
   -Xét $b \in [0;\frac{1}{2}] \cup [2;+\infty)$ thì  $ \frac{b}{b^2+1} \leq \frac{2}{5} $
   Kết hợp với $\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{1}{2} ; \frac{c}{c^2+1} <0$ ta được $VT < \frac{9}{10}$
   -Xét $b \in [\frac{1}{2};2]$ thì ta có:$c=1-a-b \geq -3$
   Do $c \in [-3;-\frac{3}{4})$ nên $\frac{c}{c^2+1} < -\frac{1}{10}$
   Do đó ta có:$VT<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{9}{10} $.
   Vậy $\sum\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{9}{10} $.Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[Pham Quoc Thang]

Bài 64 (Iran 2010):Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{(a+b+c)^2} \geq \frac{7}{25}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b+c})^2$
Bài 65 (Moldova 1999):Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:$\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)} \geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+b}$
Bài 66:Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2$.Tìm GTLN của $P=(a^5+b^5)(b^5+c^5)(c^5+a^5)$

[Bui Ba Anh]

Bài 64 (Iran 2010):Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{(a+b+c)^2} \geq \frac{7}{25}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b+c})^2$

BĐT tương đương với:

$\frac{28}{9}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2})\geq \frac{196}{225}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b+c})^2$

Ta có $\frac{28}{9}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2})\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{3(a+b+c)})^2$

Ta quy về chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{3(a+b+c)}\geq \frac{14}{15}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b+c})$ 

điều này tương đương với $\sum \frac{1}{a}\geq \frac{9}{\sum a}$ luôn đúng

[Bui Ba Anh]

Bài 65 (Moldova 1999):Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:$\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)} \geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+b}$
 

BĐT tương đương với :

$\sum \frac{b(a+c)-bc}{c(c+a)} \geq \sum \frac{a}{a+c}$

$<=>\sum \frac{a}{b}\geq \sum \frac{a+b}{a+c}$

Tới đây thì quen thuộc r

[Pham Quoc Thang]

BĐT tương đương với :

$\sum \frac{b(a+c)-bc}{c(c+a)} \geq \sum \frac{a}{a+c}$

$<=>\sum \frac{a}{b}\geq \sum \frac{a+b}{a+c}$

Tới đây thì quen thuộc r

Quen thuộc đó chính là bđt India 2002